Category: 11.º Ano

Prove que a sucessão é limitada 0

Prove que a sucessão é limitada

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 53 Ex. 9

Enunciado

Dada a sucessão de termo geral ${d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}$, prove que a sucessão é limitada.

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 \[{d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}\]

 

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {{d_{n + 1}} – {d_n}}& = &{\frac{{3\left( {n + 1} \right) – 5}}{{\left( {n + 1} …

Uma sucessão de termo geral da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$ 0

Uma sucessão de termo geral da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 51 Ex. 8

Enunciado

Encontre uma sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ cujo termo geral seja da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$, com $A$ um número real, tal que:

  1. $\left( {{u_n}} \right)$ seja monótona;
     
  2. $\left( {{u_n}} \right)$ não seja monótona.

Prove a sua conjetura.

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\[{u_n} = {\left( …

0

A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.…

0

A dobra numa folha de papel

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 10

Enunciado

Considere uma folha de papel retangular de comprimento 24 unidades e largura 18 unidades.
Dobramos a folha de papel de modo que o vértice A coincida com o vértice C e vincamos a folha.

Qual é o comprimento do vinco?

  • Sugestão: Comece por dobrar uma folha
0

Um triângulo inscrito numa semicircunferência

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16

Enunciado

Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.

  1. Justifique que o triângulo é retângulo.
     
  2. Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
     
  3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e
0

A inversa de uma função

Função inversa: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 15

Enunciado

A função $f$ tem domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ e é definida por $f\left( x \right) = 4{x^2} + 1$.

  1. Esboce o gráfico de $f$ e indique o contradomínio da função.
     
  2. Explique porque existe inversa de $f$ e determine uma expressão para ${f^{ – 1}}\left(
Simplifica as seguintes expressões com radicais 0

Simplifica as seguintes expressões com radicais

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 12

Enunciado

Simplifica as seguintes expressões com radicais:

  1. ${ – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}$
     
  2. $\frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt {500} }} – \sqrt {80} $
     
  3. $5\sqrt[3]{{16}} – 3\sqrt[3]{{54}} \times \sqrt[3]{5}$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      { – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}& = &{\left( { – 1 + 2 + 3}
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 11

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. ${x^4} = 625$
     
  2. ${x^3} =  – 125$
     
  3. ${x^4} + 81 = 0$
     
  4. ${x^3} – 343 = 0$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^4} = 625}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt[4]{{625}}}& \vee &{x = \sqrt[4]{{625}}}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 10

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. $x + \sqrt {2x}  = 0$
     
  2. $x + 3 – \sqrt {2x – 6}  = 0$
     
  3. $\sqrt {1 – x}  + \sqrt {2x}  = 0$

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  1. $x + \sqrt {2x}  = 0$
     
    O domínio da condição é $D =
Caracterize a função inversa 0

Caracterize a função inversa

Função inversa: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 8

Enunciado

Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) =  – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]

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\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) =  – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]

Como ${D_f} …

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$ 0

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

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 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x …

0

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …