Mostre que
Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18
Mostre que:
- a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
- a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
- a função definida por $r\left( x \right) = – {x^2} + 2$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$;
- a função definida por $s\left( x \right) = – \frac{3}{x}$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$, mas não é crescente no seu domínio.
- A função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ admite por função derivada $f’\left( x \right) = 3{x^2}$, também de domínio $\mathbb{R}$.
Como $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, então a função $f$ é estritamente crescente em ${\mathbb{R}^ – }$ e, também, crescente em ${\mathbb{R}^ + }$.
Por outro lado, $f\left( x \right) < f\left( 0 \right),\forall x \in {\mathbb{R}^ – }$ e $f\left( 0 \right) < f\left( x \right),\forall x \in {\mathbb{R}^ + }$.
Consequentemente, a função $f$ é é estritamente crescente em $\mathbb{R}$.
- A função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ admite por função derivada $g’\left( x \right) = 3{x^2} – 2$, também de domínio $\mathbb{R}$.
Como $g’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left] {1, + \infty } \right[$, então a função $g$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$.
- A função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $r\left( x \right) = – {x^2} + 2$ admite por função derivada $r’\left( x \right) = – 2x$, também de domínio $\mathbb{R}$.
Como $r’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left] { – \infty ,0} \right[$, então a função $r$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$.
- A função, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, definida por $s\left( x \right) = – \frac{3}{x}$ admite por função derivada $s’\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}}$, também de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Como $s’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left] { – \infty ,0} \right[$, então a função $s$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$.
No entanto, a função $s$ não é estritamente crescente no seu domínio, pois, por exemplo, $s\left( { – 1} \right) > s\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3 > – \frac{3}{2}$.
