Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

O domínio da condição é $D = \mathbb{R}_0^ + $.

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{x + \sqrt {2x}  = 0}& \Leftrightarrow &{\sqrt {2x}  =  – x} \\
{}& \Rightarrow &{2x = {x^2}} \\
{}& \Rightarrow &{x\left( {x – 2} \right) = 0} \\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}& \vee &{x = 2}
\end{array}}
\end{array}\]
Verificação:

${x = 0}$ é solução da equação, pois $0 + \sqrt {2 \times 0}  = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ é uma proposição verdadeira.

${x = 2}$ não é solução da equação, pois $2 + \sqrt {2 \times 2}  = 0 \Leftrightarrow 4 = 0$ é uma proposição falsa.

Portanto, o conjunto solução da equação é $S = \left\{ 0 \right\}$.
­

O domínio da condição é $D = \left[ {3, + \infty } \right[$.

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3 – \sqrt {2x – 6}  = 0}& \Leftrightarrow &{\sqrt {2x – 6}  = x + 3} \\
{}& \Rightarrow &{2x – 6 = {x^2} + 6x + 9} \\
{}& \Rightarrow &{{x^2} + 4x + 15 = 0} \\
{}& \Rightarrow &{x \in \emptyset }
\end{array}\]

Portanto, o conjunto solução da equação é $S = \left\{ {} \right\}$.
­

O domínio da condição é $D = \left\{ {x \in \mathbb{R}:1 – x \geqslant 0 \wedge 2x \geqslant 0} \right\} = \left[ {0,1} \right]$.

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {1 – x}  + \sqrt {2x}  = 0}& \Leftrightarrow &{\sqrt {2x}  =  – \sqrt {1 – x} } \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = 0}& \wedge &{1 – x = 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
\end{array}\]
Portanto, o conjunto solução da equação é $S = \left\{ {} \right\}$.