Category: 11.º Ano

Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo 0

Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 18

Enunciado

Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo e isósceles, sendo:

  1. $A(1,1,\sqrt{2})$, $B(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$ e C o simétrico de A em relação a O, origem do referencial;
     
  2. $A(2,1,-3)$, $B(-1,3,4)$ e $C(-3,0,2)$.

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  1. Ora, $C(-1,-1,-\sqrt{2})$.

    Como

    $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{(-1-\sqrt{2})}^{2}}+{{(-1+\sqrt{2})}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|$,
    então $\overline{AB}=\overline{BC}$.

    Como
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &

Averigúe se os vectores são perpendiculares 0

Averigúe se os vectores são perpendiculares

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 17

Enunciado

Averigúe se os vectores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ são perpendiculares:

  1. $\vec{u}(1,-3,2)$  e $\vec{v}(2,4,5)$
     
  2. $\vec{u}(\sqrt{3}-1,4,-1)$  e $\vec{v}(\sqrt{3}+1,1,6)$
     
  3. $\vec{u}(\frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{5}{7})$  e $\vec{v}(-\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{5})$
     
  4. $\vec{u}(-5,\alpha ,3)$  e  $\vec{v}(2\alpha ,10,0)$

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  1. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(1,-3,2).(2,4,5)=1\times 2-3\times 4+2\times 5=0$.
    Logo os vectores são perpendiculares.
     
  2. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(\sqrt{3}-1,4,-1).(\sqrt{3}+1,1,6)=(\sqrt{3}-1)\times (\sqrt{3}+1)+4\times 1-1\times 6=3-1+4-6=0$:
    Logo os vectores são perpendiculares.
     
  3. Ora,
Calcule, aplicando as propriedades do produto escalar 0

Calcule, aplicando as propriedades do produto escalar

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 16

Enunciado

Supondo que $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\sqrt{5}$, calcule, aplicando as propriedades do produto escalar:

  1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})$
     
  2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})$

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  1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})=6.(\vec{u}.\vec{v})=6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
     
  2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})=4.(\vec{u}.\vec{v})-2.(\vec{u}.\vec{w})=4\times 2\sqrt{5}-2\times 0=8\sqrt{5}$

 

<< Enunciado
Determine a amplitude do ângulo dos dois vectores 0

Determine a amplitude do ângulo dos dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 15

Enunciado

Determine (se necessário apresente o resultado aproximado às décimas) a amplitude do ângulo de $\overrightarrow{u}$ com $\overrightarrow{v}$, sabendo que:

  1. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=50\sqrt{2}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{v} \right\|=10$
     
  2. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-10\sqrt{3}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=4$ e $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=5$
     
  3. $\overrightarrow{u}(1,2,3)$ e $\overrightarrow{v}(-1,1,-1)$
     
  4. $\overrightarrow{u}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)$ e $\overrightarrow{v}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \cos (\widehat{\vec{u}\,\vec{v}})
Outros dois vectores 0

Outros dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 13

Enunciado

Sendo $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ dois vectores, tais que $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=2$, $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=3$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=4$, calcule:

  1. $(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
     
  2. ${{(2\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v})}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       (2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) & = & 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}  \\
       {} & = & 2\times 2\times 2\times 1+2\times 4-4-3\times 3\times 1  \\
       {} & = & 8+8-4-9  \\
0

[ABCDE] é um pentágono regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 12

Enunciado

[ABCDE] é um pentágono regulat de lado l, inscrito na circunfereência de centro O e raio r.

  1. Calcule em função de r, com aproximação às centésimas:

    $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OE}$ e $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$.
     

  2. Determine, em função de l, com aproximação às centésimas:

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ e

Mais dois vectores 0

Mais dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 10

Enunciado

Os vectores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ verificam a condições, em $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$:

  • $\begin{matrix}
       \overrightarrow{u}.\overrightarrow{i}=2 & \wedge  & \overrightarrow{u}.\overrightarrow{j}=-3  \\
    \end{matrix}$
  • $\begin{matrix}
       \overrightarrow{v}.\overrightarrow{i}=-4 & \wedge  & \overrightarrow{v}.\overrightarrow{j}=-5  \\
    \end{matrix}$
  1. Quais são as coordenadas de $\overrightarrow{u}$ e de $\overrightarrow{v}$?
  2. Calcule $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.

Resolução >> Resolução

  1. $\overrightarrow{u}=(2,-3)$ e $\overrightarrow{v}=(-4,-5)$.
    Com efeito, para $\overrightarrow{u}=({{u}_{1}},{{u}_{2}})$,
Três vectores 0

Três vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 6

Enunciado

Considere os vectores $\vec{u}(-3,1,2)$, $\vec{v}(4,-2,5)$ e $\vec{w}(2,3,-1)$.

  1. Calcule os números reais a e b, para que o vector $\vec{v}-\vec{w}$ e o vector $(a,b,3-a)$ sejam colineares.
     
  2. Calcule os números reais $\alpha $ e $\beta $, para que o vector $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$ seja igual ao vector de coordenadas
Dois vectores 0

Dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 5

Enunciado

Considere os vectores $\vec{u}(2,-1,3)$  e $\vec{v}(-4,2,5)$.

  1. Os vectores ${\vec{u}}$  e ${\vec{v}}$  são colineares? Porquê?  
  2. Determine os números reais a e b, para que o vector $\vec{w}(a,-6,b)$  e o vector ${\vec{v}}$  sejam colineares.

Resolução >> Resolução

  1. Os vectores ${\vec{u}}$  e ${\vec{v}}$  são colineares se e só se
Dados os ponto A, B e C 0

Dados os ponto A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 4

Enunciado

Considere um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(-2,1,5)$, $B\,(1,-3,0)$ e $C\,(2,2,-1)$

  1. Determine as coordenadas do ponto M, tal que $\overrightarrow{BM}=3\,\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{AC}$.
     
  2. Determine as coordenadas do ponto N, tal que $2\,\overrightarrow{NA}=3\,\overrightarrow{NB}$.
     
  3. Calcule as coordenadas do ponto médio I de [MN].
     
  4. Calcule as coordenadas so simétrico de C em
0

Um ponto e um vector

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 2

Enunciado

Na figura está representado um referencial o. n. $(O,\vec{u},\vec{v},\vec{w})$, um ponto P e um vector $\vec{t}\,(\vec{t}=\overrightarrow{OT})$.

Sendo P’ e T’ as projecções ortogonais de P e T no plano xOy,

  1. Indique as coordenadas de P e do vector ${\vec{t}}$.
     
  2. Determine as coordenadas dos pontos Q, R e
Duas funções trigonométricas 0

Duas funções trigonométricas

Enunciado

Na figura estão as representações gráficas de duas funções, f e g, no intervalo $\left[ -2\pi ,2\pi  \right]$.

Sabe-se que:

  • f é definida por $f(x)=sen\,x$;  
  • g é definida por $g(x)=\cos (3x)$;  
  • A é um ponto de intersecção dos gráficos de f e de g.

Sem …

Duas condições trigonométricas 0

Duas condições trigonométricas

Proposta 34 - Utilizando as capacidades da calculadora gráfica

Enunciado Resolva, utilizando as capacidades da sua calculadora gráfica, as seguintes condições:

  1. $sen\,x=0,4$
     
  2. $sen\,x>0,3$

Resolução >> Resolução

  1. Consideremos duas funções f1 e f2, reais de variável real, de domínio R, definidas por ${{f}_{1}}(x)=sen\,x$ e ${{f}_{2}}(x)=0,4$.
     
    Efectuada a representação gráfica destas funções no intervalo $\left[ -2\pi
Funções trigonométricas 1

Funções trigonométricas

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":970, "height":510, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 …

0

Um polígono [ABEG]

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 72

Enunciado

Na figura está representado, a cor, um polígono [ABEG].
Tem-se que:

  • [ABFG] é um quadrado de lado 2.  
  • FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de
Equações trigonométricas 5 0

Equações trigonométricas 5

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 71

Enunciado

Resolva as seguintes equações trigonométricas, no intervalo indicado:

  1. $-\sqrt{3}-2\,sen\,\theta =0$ para $\theta \in \left[ -\pi ,\pi  \right]$
     
  2. $-2+\sqrt{3}\,tg\,\theta =1$ para $\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]$
     
  3. $1+\sqrt{2}\cos \theta =3$ para $\theta \in \left[ \pi ,3\pi  \right]$
     
  4. $4{{\cos }^{2}}\theta =3$ para $\theta \in \left[ -\pi ,\pi  \right]$

Resolução >>

Mostre que 0

Mostre que

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 70

Enunciado

Mostre que: $(\cos \alpha -sen\,\alpha )(\cos \alpha +sen\,\alpha )-1=-2\,se{{n}^{2}}\,\alpha $.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   (\cos \alpha -sen\,\alpha )(\cos \alpha +sen\,\alpha )-1 & = & {{\cos }^{2}}\alpha +\cos \alpha \times sen\,\alpha -\cos \alpha \times sen\,\alpha -se{{n}^{2}}\,\alpha -1  \\
   {} & = & {{\cos }^{2}}\alpha -se{{n}^{2}}\,\alpha -1  \\
   {} …

Calcule o valor exacto da expressão 2

Calcule o valor exacto da expressão

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 69

Enunciado

Calcule o valor exacto da expressão: $sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4})$.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4}) & = & sen\,(2\pi +\pi +\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (-6\pi +\frac{\pi }{4})  \\
   {} & = & -\,sen\,(\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (\frac{\pi }{4})  …

Simplifique a expressão 0

Simplifique a expressão

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 68

Enunciado

Simplifique a expressão:

$-2\,sen\,(\alpha +\frac{\pi }{2})+\cos (\frac{5\pi }{2}-\alpha )-sen\,(-\alpha +\pi )$

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   -2\,sen\,(\alpha +\frac{\pi }{2})+\cos (\frac{5\pi }{2}-\alpha )-sen\,(-\alpha +\pi ) & = & -2\,sen\,(\frac{\pi }{2}-(-\alpha ))+\cos (2\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha )-sen\,(\pi -\alpha )  \\
   {} & = & -2\cos (-\alpha )+sen\,\alpha -sen\,\alpha   \\
   {} & …

Sabe-se que… 0

Sabe-se que…

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 67

Enunciado

Sabe-se que $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ e que $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

Determine o valor exacto de:

  1. $sen\,\alpha $
     
  2. $tg\,(\pi -\alpha )$

Resolução >> Resolução

  1. Tendo em consideração a FFT e que $\alpha \in 4.{}^\text{o}Q$, temos \[sen\,\alpha =-\sqrt{1-{{(\frac{1}{3})}^{2}}}=-\sqrt{\frac{9-1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
     
  2. Ora, \[tg\,(\pi -\alpha )=tg\,(-\alpha )=-tg\,\alpha =\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}\]
<< Enunciado