A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: 12.º Ano

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A partir das fórmulas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 10

Enunciado

A partir das fórmulas correspondentes do seno e do cosseno, deduza uma fórmula para

  1. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right)$
  2. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  – \beta } \right)$

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

A partir da fórmula

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 9

Enunciado

A partir da fórmula $$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$ encontre uma fórmula para:

  1. $\operatorname{sen} \left( {\alpha  – \beta } \right)$
  2. $\operatorname{sen} \left( {2\alpha } \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Prove que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Prove que $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \operatorname{tg} x$$ não existe, encontrando duas sucessões infinitamente grandes, $({u_n})$ e $({v_n})$, tais que $\left( {\operatorname{tg} ({u_n})} \right)$ e $\left( {\operatorname{tg} ({v_n})} \right)$ convirjam para limites diferentes.

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12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando

Qual é o período positivo mínimo?

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 32 Ex. 7

Enunciado Qual é o período positivo mínimo de cada uma das funções?

  1. $f:x \to \operatorname{tg} \left( {3x} \right)$
  2. $g:x \to \operatorname{tg} \left( {\frac{x}{4}} \right)$
  3. $h:x \to 2 + 3\operatorname{tg} \left( {\frac{x}{{10}}} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Construa o gráfico da função

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 31 Ex. 5

Enunciado

  1. Construa o gráfico da função definida por $$f(x) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$$ e identifique outra função trigonométrica com esse gráfico.
  2. Comente a afirmação: “O gráfico da função $y =  – \cos x$ tem a mesma forma que o da função $y = \operatorname{sen} x$, mas está deslocado ${\frac{\pi }{2}}$ para a direita”.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 29 Ex. 4

Enunciado

Mostre que:

  1. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g:x \to \cos \left( {\alpha x} \right)$
  2. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h:x \to \cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Três funções trigonométricas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 28 Ex. 3

Enunciado

Considere, definidas em $\left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, as funções:

$$x \to f(x) = \cos x$$

$$x \to g(x) = 3\cos x$$

$$x \to h(x) = \cos 3x$$

  1. Represente-as graficamente no mesmo referencial e pronuncie-se acerca do período, da paridade e do contradomínio de cada uma delas.
  2. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção de $f$ com $h$.
  3. Resolva graficamente:a) $f(x) \geqslant h(x)$

    b) $\frac{{f(x)}}{{h(x)}} \geqslant 0$

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
  • o período positivo mínimo.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Funções do tipo $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x – \phi } \right)$

Exploração da representação gráfica pela influência da variação de parâmetros na função $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x - \phi } \right)$
  • Qual será o efeito do parâmetro $A$?
  • Qual será o efeito do parâmero $B$?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\omega $?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\phi $?
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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?

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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
  3. Justifique que, apesar
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.

  1. Determine a diferença de alturas dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas.
  2. Recorrendo ao estudo da
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
    Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando
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