Category: 8.º Ano

Soma dos ângulos de um quadrilátero 0

Soma dos ângulos de um quadrilátero

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 110 Ex. 3

Enunciado

Prova que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

Resolução >> Resolução

Consideremos o quadrilátero [ABCD]:

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":740, "height":398, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 …

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Propriedades dos paralelogramos

Paralelogramos

Há quadriláteros que não têm lados paralelos (Não trapézios), outros que têm dois lados paralelos (Trapézios) e outros que têm os lados paralelos dois a dois. Estes últimos são os paralelogramos.

Paralelogramos são quadriláteros com dois pares de lados paralelos, isto é, têm

A medida da amplitude do ângulo externo 0

A medida da amplitude do ângulo externo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 6

Enunciado

A medida da amplitude do ângulo externo em B, no triângulo [ABC], é 100º.

Sabendo que $\hat{B}=\hat{C}$:

  1. determina a medida da amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo;
  2. indica qual o lado de maior comprimento do triângulo e o de menor comprimento. Justifica.

Resolução >>

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Sabendo que…

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 5

Enunciado

Sabendo que $\hat{B}=62{}^\text{o}$, $\overline{AB}=\overline{BC}$ e $\overline{CD}=\overline{CE}$ , calcula $C\hat{D}E$.

 

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Como sabemos, num triângulo, a lados geometricamente iguais, opõem-se ângulos geometricamente iguais.

Logo, no triângulo [ABC], são geometricamente iguais os ângulos BAC e BCA, pois opõem-se a lados geometricamente iguais.

Por outro lado, sabemos …

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Observa a figura

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 4

Enunciado

Observa a figura onde [MN] é paralelo a [BC].

Calcula:

  1. $M\hat{A}N$
  2. $A\hat{B}D$

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  1. O ângulo MNA é suplementar do ângulo assinalado com 142º de amplitude, pois são ângulos de lados paralelos, sendo um agudo e outro obtuso. Assim, $M\hat{N}A=180{}^\text{o}-142{}^\text{o}=38{}^\text{o}$.
     
    Como a soma das amplitudes dos
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Calcula o valor de x em cada figura

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 2

Enunciado

Calcula o valor de x em cada figura, considerando r//s.

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FIGURA a)

Os ângulos considerados são geometricamente iguais, pois são ambos agudos e de lados paralelos.
Logo, temos:

$\begin{array}{*{35}{l}}
   2x-95=25 & \Leftrightarrow  & 2x=120  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=60  \\
\end{array}$

Portanto, $x=60{}^\text{o}$.…

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Um triângulo isósceles

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 3

Enunciado

No triângulo isósceles [MAR], $\overline{RA}=\overline{MA}$ e $\hat{A}=50{}^\text{o}$.

Determina ${\hat{R}}$ e ${\hat{M}}$.

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Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso, vem: $\hat{M}+\hat{R}=180{}^\text{o}-\hat{A}=180{}^\text{o}-50{}^\text{o}=130{}^\text{o}$.

Num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Ora, como $\overline{RA}=\overline{MA}$, então $\hat{M}=\hat{R}$.

Assim, $\hat{M}=\hat{R}=\frac{130{}^\text{o}}{2}=65{}^\text{o}$.

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Um triângulo rectângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 2

Enunciado

O triângulo [ABC] é rectângulo em A;
[AH] é perpendicular a [BC] e o ângulo externo em C mede 130º.

Calcula a medida da amplitude dos ângulos x, y e z.

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Como a amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à …

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Ângulos internos e externos de um triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 1

Enunciado

Utilizando os dados da figura, calcula:

  1. A medida de cada um dos ângulos internos do triângulo [MNP];
     
  2. A soma dos ângulos externos do triângulo.

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  1. Considerando que os ângulos seguintes são suplementares, temos:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {\hat{P}} & = & 180{}^\text{o}-N\hat{P}Q  \\
       {} & = & 180{}^\text{o}-145{}^\text{o} 
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Duas paralelas e uma secante

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 99 Ex. 2

Enunciado

Na figura, as rectas r e r’ são paralelas e intersectadas pela recta t.

Calcula as amplitudes dos ângulos indicados na figura.

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Como os ângulos são suplementares, então $\hat{g}=180{}^\text{o}-112{}^\text{o}=68{}^\text{o}$.
 
Como os ângulos são verticalmente opostos, então $\hat{e}=112{}^\text{o}$.
 
Como os ângulos são verticalmente opostos, então …

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Alguns ângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 99 Ex. 1

Enunciado

Determina, sem utilizar transferidor, a amplitude dos ângulos indicados nas figuras seguintes:

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  1. Tendo em consideração que os ângulos considerados são suplementares, será $\hat{y}=180{}^\text{o}-121{}^\text{o}=59{}^\text{o}$.
    Tendo em consideração que os ângulos considerados são complementares, será $\hat{x}=90{}^\text{o}-\hat{y}=90{}^\text{o}-59{}^\text{o}=31{}^\text{o}$.
     
  2. Como os ângulos são verticalmente opostos, então $\hat{x}=43{}^\text{o}$.
    Como os
Mais dois triângulos 0

Mais dois triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 11

Enunciado

Considera dois triângulos [TRI] e [ANG], rectângulos em T e A, respectivamente.

  1. Sabendo apenas que $\overline{AN}=\overline{TR}$ e que $\widehat{I}=\widehat{G}$, podemos afirmar que os triângulos são iguais?
     
  2. E sabendo que $\overline{AN}=\overline{TR}$ e $\overline{TI}=\overline{AG}$ ? Porquê?
     
  3. E sabendo apenas que $\widehat{I}=\widehat{G}$?

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var parameters = { "id": …

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Comprimento dos lados do triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 9

Enunciado

Coloca por ordem decrescente as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo [XYZ].

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Começando por determinar a amplitude dos ângulos internos do triângulo, temos (Porquê?): \[\begin{array}{*{35}{l}}
   X\widehat{Y}Z & = & 180{}^\text{o}-110{}^\text{o}  \\
   {} & = & 70{}^\text{o}  \\
\end{array}\]
e (Porquê?) \[\begin{array}{*{35}{l}}
   X\widehat{Z}Y & …

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Eixo de simetria do triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 7

Enunciado

Observando a figura e sabendo que CM é eixo de simetria do triângulo [ABC], determina as amplitudes dos ângulos e as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo.

 

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Sendo a recta CM um eixo de simetria do triângulo [ABC], então:

  • $\widehat{B}=\widehat{A}=30{}^\text{o}$
     
  • $\overline{BC}=\overline{AC}=4\,cm$
     
  • $\overline{BM}=\overline{AM}=3,4\,cm$
     

Determinando …

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Constrói outro triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 6

Enunciado

Copia a figura e constrói o triângulo [PQR], tal que RM seja eixo de simetria.

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var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":956, "height":483, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 …

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Três pares de triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 3

Enunciado

Prova que os seguintes pares de triângulos são geometricamente iguais.

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  1. Ambos os triângulos possuem:
    – um lado com 9 unidades de comprimento;
    – um lado com 6 unidades de comprimento;
    – um ângulo interno com 69º de amplitude, formado pelos lados acima referidos.

    Portanto,

Constrói o triângulo 0

Constrói o triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 1

Enunciado

Considera o triângulo [ABC] em que:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
  • $\widehat{A}=32{}^\text{o}$
  • $\widehat{B}=128{}^\text{o}$
  1. Constrói o triângulo.
     
  2. Classifica-o quanto aos lados e quanto aos ângulos.

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  1. var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":615, "height":344, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2
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Dois triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 3

Enunciado

Na figura, tem-se:

  • o ângulo de vértice C e o ângulo CDB são geometricamente iguais;
  • $\widehat{A}=40{}^\text{o}$;
  • $A\widehat{D}B=110{}^\text{o}$.
  1. Determina $B\widehat{D}C$ e $D\widehat{B}A$.
  2. Mostra que os triângulos [ABC] e [BCD] são isósceles e indica os lados iguais em cada um. Justifica convenientemente a resposta.

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  1. Tendo em
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Um tetraedro

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 87 Ex. 7

Enunciado

Na figura está representado um tetraedro.

  1. Existem planos paralelos? E rectas paralelas?
  2. Indica um plano que contenha a recta AD.
  3. Indica duas rectas concorrentes.
  4. Está assinalado na figura um ponto que peretnce a todas as faces laterais do tetraedro. Qual é esse ponto?
  5. Indica dois planos concorrentes
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Um paralelepípedo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 85 Ex. 3

Enunciado

Observa o sólido ao lado.

Indica, usando as letras da figura:

  1. rectas complanares com HD;
  2. rectas concorrentes com AB;
  3. rectas contidas no plano ABC;
  4. planos paralelos.

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  1. São complanares com a recta HD, por exemplo:
    – a recta HG;
    – a recta HE;
    – a