Uma circunferência e duas semirretas tangentes
Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 135 Ex. 7
Enunciado
Na figura, está representada uma circunferência de centro O e duas semirretas, concorrentes em V, e que são tangentes à circunferência nos pontos A e B.
- Justifica que \(\overline {VA} = \overline {VB} \).
- Supondo que a amplitude do arco AB mede 120 graus, determina a medida da amplitude do ângulo AVB.
Resolução
A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio dirigido ao ponto de tangência, pelo que os ângulos OAV e OBV são retos. Portanto, os triângulos [AOV] e [BOV] são triângulos retângulos, com iguais hipotenusas, o segmento de reta [OV], bem como um cateto igual, os segmentos [AO] e [BO], que são raios da mesma circunferência.
Assim, por aplicação do Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos retângulos, resulta \(\overline {VA} = \overline {VB} \).
- Tendo em consideração que o ângulo AVB é um ângulo de vértice exterior a um círculo, vem (ADB é o arco maior AB):
\[A\widehat VB = \frac{{\overparen{ADB} – \overparen{AB}}}{2} = \frac{{240^\circ – 120^\circ }}{2} = 60^\circ \]
ALTERNATIVA: Determine as amplitudes dos ângulos internos do triângulo [AOV] e conclua sobre a amplitude do ângulo AVB.
