Tagged: equação

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Um reservatório de óleo

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 6

Enunciado

O nível N de óleo (em litros) de um reservatório varia com o tempo t (em horas), de acordo com a expressão:

\[N\left( t \right) = – 0,6\,{t^2} + 0,25\,t + 0,7\]

  1. No início da contagem do tempo, havia óleo no reservatório?
    Explica a tua resposta. 
  2. Ao
Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& …

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Concentração do composto

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1

Enunciado

Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.

Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.

  1. Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
     
  2. Represente graficamente a função da alínea anterior.
     
  3. Entre que valores varia a função?
     
  4. Qual a quantidade
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Uma espécie rara de insetos

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4

Enunciado

Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.

Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.

A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + …

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Determine graficamente

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 12

Enunciado

Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]

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Uma plataforma petrolífera

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 5

Enunciado

Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:

\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]

  1. Qual é o custo por tonelada para $30$ mil toneladas?
     
  2. Quantas mil toneladas tem a plataforma, se o custo por tonelada
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Número de horas de estudo

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 4

Enunciado

A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).

  1. Quantas horas de estudo são necessárias para se obter $85$ (em percentagem)?
    Apresente
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Escreva uma equação fracionária

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 3

Enunciado

Escreva uma equação fracionária que admita $2$ e $-3$ como soluções.

Resolução >> Resolução

Comecemos por considerar uma equação que admita $2$ e $-3$ como soluções:

\[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

Desenvolvendo o primeiro membro da equação, vem:

\[{x^2} + x …

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 1

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $a – \frac{5}{a} = 4$
     
  2. $\frac{9}{{x + 5}} = \frac{3}{{x – 3}}$
     
  3. $\frac{{x + 4}}{x} + \frac{3}{{x + 3}} =  – \frac{{16}}{{{x^2} – 4x}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop a\limits_{\left( a \right)}  – \frac{5}{a} = \mathop 4\limits_{\left( a \right)} }& \Leftrightarrow &{\frac{{{a^2}
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Resolve as seguintes equações pelo processo mais adequado:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $9{x^2} + 12x + 4 = 0$
     
  3. $4{x^2} – 20x + 25 = 0$
     
  4. ${x^2} – 8x = 4$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2}

Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $3{x^2} – 7 = 0$
     
  2. $2\left( {{x^2} + x} \right) = x$
     
  3. $\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}$
     
  4. $2{x^2} + 3 = 0$
     
  5. $\frac{4}{7}\left( {x – 2} \right)(x + 2) + x = \frac{{9 + 7x}}{7}$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B}

Traçar duas retas 0

Traçar duas retas

Sistemas de equações: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 8

Enunciado

Constrói num mesmo refrencial as retas de equações $3x+y=1$ e $-2x+y=6$.

Resolução >> Resolução

Comecemos por resolver as equações em ordem a y:

  •  $3x+y=1\Leftrightarrow y=-3x+1$
     
  • $-2x+y=6\Leftrightarrow y=2x+6$

Determinemos, seguidamente, as coordenadas de dois pontos de cada uma dessas retas:

$x$ $y=-3x+1$ Ponto
$0$ $1$ $A (0,1)$
$2$
Traçar uma recta 0

Traçar uma recta

Sistemas de equações: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 7

Enunciado

Lembra-te que para traçarmos uma reta bastam dois pontos. Portanto, para construirmos a reta de uma equação do 1.º grau com duas incógnitas é suficiente encontrarmos dois pontos do gráfico e, com uma régua, traçar a reta que passa por esses dois pontos.

$x$ $y$ $(x,y)$
$5$
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As economias do Nuno

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 4

Enunciado

O Nuno gasta $\frac{2}{5}$ das suas economias e depois a quarta parte do que lhe resta. No fim, sobram-lhe ainda 10,80 euros.

Quanto dinheiro tinha no início?

Resolução >> Resolução

Seja x o dinheiro (em euros) inicial do Nuno.

Assim, temos:

  • Primeiro gasto: $\frac{2x}{5}$
     
  • O que resta
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A idade da Rita

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 3

Enunciado

A Rita diz que daqui a 18 anos, a terça parte da sua idade será metade da sua idade actual.

Qual é a idade da Rita?

Resolução >> Resolução

Seja x a idade (em anos) actual da Rita.

Assim, temos:

  • A idade da Rita daqui a 18
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Uma equipa de futebol

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 2

Enunciado

Uma equipa de futebol ganhou $\frac{4}{7}$ dos jogos que efectuou, empatou $\frac{2}{5}$ dos jogos e perdeu 6.

Quantos jogos efectuou esta equipa?

Resolução >> Resolução

Seja x o número de jogos efectuados por esta equipa.

Assim, temos:

  • Número de vitórias: $\frac{4x}{7}$
     
  • Número de empates: $\frac{2x}{5}$
     
  • Número de
Liga cada equação à sua solução 0

Liga cada equação à sua solução

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 1

Enunciado

Liga cada equação à sua solução:

1 \[(x-7)-(3x+2)=9\] A  \[2,7\]
2  \[\frac{x+3}{2}=\frac{x-5}{3}\] B  \[-19\]
3  \[\frac{2}{3}(a+1)=\frac{a}{6}\] C  \[-9\]
4  \[6x-\frac{3}{2}=5x+\frac{6}{5}\] D  \[-\frac{4}{5}\]
5  \[b-\frac{1}{3}(b-1)=\frac{b}{4}\] E  \[-\frac{4}{3}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   (x-7)-(3x+2)=9 & \Leftrightarrow  & x-7-3x-2=9  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -2x=18  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=-9  …

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Num cabaz

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 5

Enunciado

Num cabaz há maçãs, pêssegos e bananas.

O número de maçãs é duplo do dos pêssegos e o número de bananas é um terço do dos pêssegos.

Quantas são as peças de cada qualidade de fruta se o cabaz tiver 15 frutos?

Resolução >> Resolução

Designando o …

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A um certo número

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 4

Enunciado

A um certo número adicionou-se $\frac{2}{3}$ do número.

A essa soma subtraiu-se $\frac{1}{3}$ da soma, tendo-se obtido $10$.

Qual é o número?

Resolução >> Resolução

 Designando esse número por x, temos:

  • Dois terços do número: $\frac{2x}{3}$
     
  • Essa soma: $x+\frac{2x}{3}$
     
  • Um terço da soma: $\frac{1}{3}(x+\frac{2x}{3})$

 
Assim, temos:

\[\begin{array}{*{35}{l}}…