Uma espécie rara de insetos
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4
Enunciado
Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.
Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.
A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}}\]
- Qual era a população quando $t = 0$?
- Qual será a população de insetos 10 anos depois de terem sido colocados na área protegida?
- Quando é que a população atinge os $549$ insetos?
Resolução
- Quando $t = 0$, a população era de $P\left( 0 \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6 \times 0} \right)}}{{3 + 0,02 \times 0}} = \frac{{45}}{3} = 15$ insetos.
- Como $P\left( {120} \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6 \times 120} \right)}}{{3 + 0,02 \times 120}} = \frac{{45 \times 73}}{{5,4}} \approx 608$, é esperada uma população de $608$ insetos 10 anos depois de terem sido colocados na área protegida.
- Ora, tem-se sucessivamente:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{P\left( t \right) = 549}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}} = 549}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{45\left( {1 + 0,6t} \right) = 549\left( {3 + 0,02t} \right)}& \wedge &{t \geqslant 0}&{\left( {Porquê?} \right)}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{45 + 27t = 1647 + 10,98t}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{16,02t = 1602}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = \frac{{1602}}{{16,02}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = 100}
\end{array}\]A população atinge os $549$ insetos $100$ meses, ou seja, $8$ anos e $4$ meses após terem sido colocados na área protegida.
