Um reservatório de óleo
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 6
Enunciado
O nível N de óleo (em litros) de um reservatório varia com o tempo t (em horas), de acordo com a expressão:
\[N\left( t \right) = – 0,6\,{t^2} + 0,25\,t + 0,7\]
- No início da contagem do tempo, havia óleo no reservatório?
Explica a tua resposta. - Ao fim de quanto tempo o nível de óleo é zero?
Apresenta esse valor em horas e minutos arredondados à unidade.
Resolução
O nível N de óleo (em litros) de um reservatório varia com o tempo t (em horas), de acordo com a expressão:
\[N\left( t \right) = – 0,6\,{t^2} + 0,25\,t + 0,7\]
- No início da contagem do tempo, havia 0,7 litros de óleo no reservatório, pois \(N\left( 0 \right) = – 0,6 \times {0^2} + 0,25 \times 0 + 0,7 = 0,7\).
- Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( t \right) = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 0,6\,{t^2} + 0,25\,t + 0,7 = 0}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{60\,{t^2} – 25\,t – 70 = 0}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{25 \mp \sqrt {625 + 16800} }}{{120}}}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{25 \mp 5\sqrt {697} }}{{120}}}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{5 \mp \sqrt {697} }}{{24}}}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{5 – \sqrt {697} }}{{24}}}& \vee &{t = \frac{{5 + \sqrt {697} }}{{24}}}\end{array}} \right)}& \wedge &{t > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{t = \frac{{5 + \sqrt {697} }}{{24}}}\\{}&{}&{t \approx 1,308365}\end{array}\]
O nível de óleo é zero, aproximadamente, ao fim de 1 hora e 19 minutos, após o início da contagem de tempo.
