A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: 12.º Ano

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
  2. Estude a variação de $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.
  3. Mostre que $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$ e conjeture os limites de $f$ em
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Dada a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24

Enunciado

Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$

  1. Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
  2. Resolva a equação $f(x) = 1$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Determine as expressões designatórias das funções derivadas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23

Enunciado

  1. Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:

    a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$

    b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$

    c) $h:\alpha  \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$

    d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$

    e) $j:t \to \cos \left( {4 – 3t} \right)$

  2. Sabendo que as funções $f$ e $g$ são deriváveis e que $g(1) = 3$, $g'(1) = 2$ e $f'(3) = 5$, determine, nos pontos indicados, o valor
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule a derivada de cada uma das funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22

Enunciado

Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:

  1. $f:x \to 3 + 2\cos x$
  2. $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
  3. $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
  4. $i:z \to 3z\cos z$
  5. $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Determine

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18

Enunciado

  1. Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
  2. Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na alínea anterior.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule, se existir

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17

Enunciado

Calcule, se existir:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
  2. $\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
  4. $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere as funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.

  1. Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
  2. Resolva a equação $f(x) = g\left( {\frac{{5\pi }}{2}} \right)$ e apresente as soluções na forma $\ln \left( {ke} \right)$, em que $k$ é um número real positivo.
  3. Recorrendo à
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3

Enunciado

Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.

A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.

Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada da posição de equilíbrio ele vai oscilar de um lado para o outro em torno da posição de equilíbrio devido à ação da força elástica da mola.

Admitindo que a … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Considere a função real de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$

  1. O gráfico seguinte representa a função cosseno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
  2. Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) – f\left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)$.
  3. Determine o contradomínio da função dada.
  4. Determine uma expressão geral dos zeros da função.
  5. Averigue se $f(x + 2k\pi ) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Uma folha dobrada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 1

Enunciado

Depois de dobrada uma folha de papel retangular, o vértice A coincide com o vértice C.

Calcule o comprimento do vinco, sabendo que $\overline {AB}  = 24\,cm$ e $\overline {AD}  = 18\,cm$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A diferença de potencial

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 41 Ex. 14

Enunciado

A diferença de potencial, medida em Volt, entre dois pontos de um circuito é dada por:

$$u(t) = 220\sqrt 2 \operatorname{sen} \left( {100\pi t + \frac{4}{5}\pi } \right)$$

($t$ em segundos)

  1. Mostre que $\frac{1}{{50}}$ é período da função $u$.
  2. Represente graficamente a função $u$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Mostre que as funções são idênticas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 36 Ex. 13

Enunciado

Mostre que a função $x \to f(x) = 2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)$ é idêntica à função $x \to g(x) = 2\operatorname{sen} \left( {4x – \frac{\pi }{2}} \right)$.

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