Um prisma triangular reto
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 10
Enunciado
Na figura, está representado um prisma triangular reto [ABCDEF].
Sabe-se que:
- o triângulo [ABC] é retângulo em A;
- \(\overline {AC} = 2\) cm;
- \(\overline {AE} = 6\) cm;
- o volume do prisma é 42 cm3.
- Construiu-se um cubo com volume igual ao volume do prisma representado na figura.
Qual é a medida da aresta desse cubo, em centímetros, arredondado às décimas?
[A] 3,3
[B] 3,4
[C] 3,5
[D] 3,6] - Determina a amplitude do ângulo ABC.
Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades.
Mostra como chegaste à tua resposta. - Identifica, usando as letras da figura, uma reta que seja concorrente com a reta CB e que não contenha qualquer aresta do prisma.
Resolução
Na figura, está representado um prisma triangular reto [ABCDEF].
Sabe-se que:
-
o triângulo [ABC] é retângulo em A;
-
\(\overline {AC} = 2\) cm;
-
\(\overline {AE} = 6\) cm;
-
o volume do prisma é 42 cm3.
- Como \(\sqrt[3]{{42}} \approx 3,476\), então a alternativa correta é a [C].
[C] 3,5
- Comecemos por determinar \(\overline {AB} \):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{Prisma}} = 42}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {AC} \times \overline {AB} }}{2} \times \overline {AE} = 42}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{2 \times \overline {AB} }}{2} \times 6 = 42}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = 7}\end{array}\]
No triângulo retângulo [ABC], vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat BC = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AB} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat BC = \frac{2}{7}}\\{}& \Leftrightarrow &{A\widehat BC = {{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^{ – 1}}\left( {\frac{2}{7}} \right)}\\{}&{}&{A\widehat BC \approx 16^\circ }\end{array}\] - A reta CF, por exemplo.
