Considere as funções $f$ e $g$

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

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1. Como a função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$, o seu gráfico não admite qualquer assíntota vertical.
   Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f(x)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}} \right)} \\
   {}& = &{ + \infty }
   \end{array}$$
   e $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}} \right)} \\
   {}& = &{\frac{4}{3} + 3 \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{(1 – x)}}}_0} \\
   {}& = &{\frac{4}{3}}
   \end{array}$$
   Logo, o gráfico de $f$ apenas admite uma assíntota horizontal, de equação $y = \frac{4}{3}$, quando ${x \to  + \infty }$.
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2. Ora,
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f(x) = g\left( {\frac{{5\pi }}{2}} \right)}& \Leftrightarrow &{\frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}} = 2\operatorname{sen} \frac{{5\pi }}{2} – \cos \frac{{5\pi }}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}} = 2 \times 1 – 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{4 + 9{e^{(1 – x)}} = 6} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^{(1 – x)}} = \frac{2}{9}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{1 – x = \ln \frac{2}{9}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = 1 – \ln \frac{2}{9}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = \ln e + \ln \frac{9}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = \ln \left( {\frac{9}{2}e} \right)}
   \end{array}$$
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3. Como $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) – g(x) > 0$, optou-se por definir ${f_3}(x) = f(x) – g(x)$ e considerar a inequação ${f_3}(x) > 0$. Estabelecida a correspondente representação gráfica e a determinação das coordenadas de alguns pontos significativos, conclui-se que as soluções inteiras da inequação $f(x) > g(x)$ no intervalo $\left[ {0,12} \right]$ são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.
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