Considere a função $f$

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

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1. A função $f$ é ímpar, pois $$f( – x) = 2 \times ( – x) – \operatorname{sen} ( – x) =  – 2x + \operatorname{sen} x =  – f(x),\forall x \in R$$
   Ora, $$f(x + 2\pi ) = 2\left( {x + 2\pi } \right) – \operatorname{sen} \left( {x + 2\pi } \right) = 4\pi  + 2x – \operatorname{sen} x = f(x) + 4\pi ,\forall x \in \mathbb{R}$$
   Como a função $f$ é ímpar, o gráfico em $\left[ { – \pi ,0} \right]$ é simétrico relativamente à origem do gráfico em $\left[ {0,\pi } \right]$. Basta, então representar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.

   Como $f(x + 2\pi ) = f(x) + 4\pi ,\forall x \in \mathbb{R}$, então o gráfico de $f$ nos intervalos $\left[ {\left( {2k – 1} \right)\pi ,\left( {2k + 1} \right)\pi } \right]$ pode obter-se do gráfico de $f$ em $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$ por uma translação associada ao vetor $\overrightarrow v \left( {2k\pi ,4k\pi } \right)$.
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2. Ora,
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'(x)}& = &{\left( {2x – \operatorname{sen} x} \right)’} \\
   {}& = &{2 – \cos x}
   \end{array}$$
   Como $f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$, a função é estritamente crescente no seu domínio e, consequentemente, também crescente em $\left[ {0,\pi } \right]$.
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3. Para todo o $x$ real, temos: $$\begin{array}{*{20}{c}}
   { – 1}& \leqslant &{\operatorname{sen} x}& \leqslant &1 \\
   { – 1}& \leqslant &{ – \operatorname{sen} x}& \leqslant &1 \\
   {2x – 1}& \leqslant &{2x – \operatorname{sen} x}& \leqslant &{2x + 1}
   \end{array}$$
   Portanto, $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$.

   Como $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x – 1} \right) =  + \infty $ e $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + 1} \right) =  + \infty $, então, pelo teorema das sucessões enquadradas, conclui-se que $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty $.

   Como $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {2x – 1} \right) =  – \infty $ e $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {2x + 1} \right) =  – \infty $, então, pelo teorema das sucessões enquadradas, conclui-se que $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f(x) =  – \infty $.
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4. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f(x) = 2x – 1}& \Leftrightarrow &{2x – \operatorname{sen} x = 2x – 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
   \end{array}$$
   Portanto, os pontos comuns a ${C_f}$ e a ${d_1}$ são os pontos de coordenadas $$\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi ,2\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) – 1} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi ,\pi  + 4k\pi  – 1} \right),k \in \mathbb{Z}$$
   Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f(x) = 2x + 1}& \Leftrightarrow &{2x – \operatorname{sen} x = 2x + 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x =  – 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
   \end{array}$$
   Portanto, os pontos comuns a ${C_f}$ e a ${d_2}$ são os pontos de coordenadas $$\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,2\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) + 1} \right) = \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,3\pi  + 4k\pi  + 1} \right),k \in \mathbb{Z}$$
   Como $$f’\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) = 2 – \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) = 2,\forall k \in \mathbb{Z}$$ e $$f’\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) = 2 – \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) = 2,\forall k \in \mathbb{Z}$$ as retas tangentes a ${C_f}$ nesses pontos são, respetivamente, ${d_1}:y = 2x – 1$ e ${d_2}:y = 2x + 1$.
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5. O declive da reta tangente a ${C_f}$ no ponto de abcissa $0$ é ${m_0} = f'(0) = 2 – \cos 0 = 1$ e o ponto de tangência é a origem do referencial, pois $\left( {0,f(0)} \right) = \left( {0,0} \right)$.
   Logo, $y = x$ é a equação da reta pedida.

   Como $f”(x) = \left( {2 – \cos x} \right)’ = \operatorname{sen} x,\forall x \in \mathbb{R}$, temos em $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$:

   $x$	$ – \pi $		$0$		$ + \pi $
   $f'(x) = 2 – \cos x$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   Variação de $f$	$ – 2\pi $	$ \nearrow $	$0$	$ \nearrow $	$2\pi $
   $f”(x) = \operatorname{sen} x$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$
   Sentido das concavidades de $f$	P.I.	$ \cap $	P.I.	$ \cup $	P.I.

   O gráfico de $f$ nas proximidades de $0$ está acima do gráfico de $y=x$, à direita de $0$, e abaixo, à esquerda de $0$, pois a concavidade do gráfico de $f$ está voltada para cima à direita de $0$ e voltada para baixo à esquerda.
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6. Segue um esboço do gráfico de $f$: