É igual a
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 38 Ex. 4
\[{{{\left[ {{3^2} \times {{\left( {{3^2} + 1} \right)}^2} \div {{\left( { – 5} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2} \times {{\left( { – \frac{1}{3}} \right)}^0}}\]
é igual a:
[A] \({\left( { – 6} \right)^6}\)
[B] \({6^{ – 6}}\)
[C] \({6^{ – 2}}\)
[D] \({\left( { – 6} \right)^{ – 2}}\)
Aplicando, sempre que possível, as regras operatórias das potências, temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left[ {{3^2} \times {{\left( {{3^2} + 1} \right)}^2} \div {{\left( { – 5} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2} \times {{\left( { – \frac{1}{3}} \right)}^0}}& = &{{{\left[ {{{\left( {3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)} \right)}^2} \div {{\left( { – 5} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2} \times 1}&{(1)}\\{}& = &{{{\left[ {{{\left( {\frac{{3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)}}{{ – 5}}} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2}}&{(2)}\\{}& = &{{{\left[ {{{\left( {\frac{{{3^3} + 3}}{{ – 5}}} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2}}&{(3)}\\{}& = &{{{\left[ {{{\left( { – 6} \right)}^2}} \right]}^{ – 2}} \div {6^2}}&{(4)}\\{}& = &{{{\left( { + 6} \right)}^{ – 4}} \div {6^2}}&{(5)}\\{}& = &{{6^{ – 6}}}&{(6)}\end{array}\]
Portanto, a opção correta é [B].
Explicação e fundamento dos cálculos efetuados:
| (1) | Multiplicação de potências de igual expoente: \({3^2} \times {\left( {{3^2} + 1} \right)^2} = {\left( {3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)} \right)^2}\) |
| Reconhecimento de \({\left( { – \frac{1}{3}} \right)^0} = 1\) | |
| (2) | Divisão de potências de igual expoente: \({\left( {3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)} \right)^2} \div {\left( { – 5} \right)^2} = {\left( {\frac{{3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)}}{{ – 5}}} \right)^2}\) |
| Reconhecimento de que \(1\) é o elemento neutro da multiplicação: \({\left[ { \cdots \quad \cdots } \right]^{ – 2}} \div {6^2} \times 1 = {\left[ { \cdots \quad \cdots } \right]^{ – 2}} \div {6^2}\) | |
| (3) | Aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e multiplicação de potências de igual base: \(\frac{{3 \times \left( {{3^2} + 1} \right)}}{{ – 5}} = \frac{{{3^3} + 3}}{{ – 5}}\) |
| (4) | Simplificação da base da potência de potência: \({\left[ {{{\left( {\frac{{{3^3} + 3}}{{ – 5}}} \right)}^2}} \right]^{ – 2}} = {\left[ {{{\left( { – 6} \right)}^2}} \right]^{ – 2}}\) |
| (5) | Aplicação da regra da potência de potência e reconhecimento de que é positiva a potência de base negativa e expoente par: \({\left[ {{{\left( { – 6} \right)}^2}} \right]^{ – 2}} = {\left( { + 6} \right)^{ – 4}}\) |
| (6) | Divisão de potências de igual base: \({\left( { + 6} \right)^{ – 4}} \div {6^2} = {6^{ – 6}}\) |
