Category: 11.º Ano

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Um quadro de sinal

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 83

Enunciado

O quadro seguinte dá-nos o sinal de uma função f, definida em $\mathbb{R}$:

Determine o domínio das funções seguintes:

  1. ${{f}_{1}}:x\to \frac{1}{f(x)}$
     
  2. ${{f}_{2}}:x\to \sqrt{f(x)}$
     
  3. ${{f}_{3}}:x\to \frac{1}{\sqrt{f(x)}}$

Resolução >> Resolução

 

  1. ${{D}_{{{f}_{1}}}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:f(x)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3,2,4 \right\}$.
     
  2. ${{D}_{{{f}_{2}}}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:f(x)\ge 0 \right\}=\left[ -3,2 \right]\cup \left[ 4,+\infty  \right[$.
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Determine, em R, o domínio das funções

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 82

Enunciado

Determine, em $\mathbb{R}$, o domínio das funções:

  1. $f:x\to \sqrt{-x}$
     
  2. $g:x\to \sqrt{\frac{x-3}{x-4}}$
     
  3. $h:x\to \sqrt{-{{x}^{2}}+4x}$
     
  4. $i:x\to \frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-4}}$

Resolução >> Resolução

  1. $f:x\to \sqrt{-x}$
     
    ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:-x\ge 0 \right\}=\mathbb{R}_{0}^{-}$.
     

      
     
  2. $g:x\to \sqrt{\frac{x-3}{x-4}}$
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{D}_{g}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:\frac{x-3}{x-4}\ge 0 \right\}  \\
       {} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:(x-3\le 0\wedge x-4<0)\vee
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Considere as funções reais de variável real

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 81

Enunciado

Considere as funções reais de variável real assim definidas: \[\begin{matrix}
   f:x\to {{(\sqrt{x}+3)}^{2}} & \text{e} & g:x\to {{(\sqrt{x}-3)}^{2}}  \\
\end{matrix}\]

  1. Determine o domínio de f e de g.
     
  2. Determine, se existirem, os zeros de f e de g.
     
  3. Caracterize as funções $(f+g)$ e  $(f\times g)$ e apresente as
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Verifique se são iguais as funções

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 205 Ex. 80

Enunciado

Verifique se são iguais as funções reais de variável real, f e g, assim definidas:

  1. $\begin{matrix}
       f:x\to \sqrt{{{(-x)}^{2}}} & {} & g:x\to \left| x \right|  \\
    \end{matrix}$
     
  2. $\begin{matrix}
       f:x\to \sqrt{x}.\sqrt{x} & {} & g:x\to x  \\
    \end{matrix}$
     
  3. $\begin{matrix}
       f:x\to \sqrt{x+1}.\sqrt{x-1} & {} & g:x\to \sqrt{{{x}^{2}}-1}  \\
    \end{matrix}$
Considere as funções reais de variável real 0

Considere as funções reais de variável real

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 205 Ex. 79

 

Enunciado

Considere as funções reais de variável real assim definidas: \[\begin{matrix}
   f:x\to \sqrt{x-2}+1 & {} & g:x\to \sqrt{2{{x}^{2}}-9}-x  \\
\end{matrix}\]

  1. Determine os domínios de f e de g.
     
  2. Determine os zeros de cada uma das funções.

Resolução >> Resolução

  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x-2\ge 0 \right\}=\left[ 2,+\infty  \right[$
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Use a calculadora gráfica

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 75
Use a calculadora gráfica e conjecture quais das seguintes funções polinomiais têm função inversa
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Qual o valor lógico das proposições?

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 74

Enunciado

Qual o valor lógico das proposições?

  1. A função $f:x\to {{x}^{2}}-2$ admite função inversa.
     
  2. Nenhuma função par admite função inversa.
     
  3. Algumas funções ímpares admitem função inversa.

Resolução >> Resolução

  1. A afirmação é falsa.
     
    A função $f:x\to {{x}^{2}}-2$ não admite função inversa, pois não é uma função injectiva.
     
    Com
Caracterize a função inversa 1

Caracterize a função inversa

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 72

Enunciado

Caracterize a função inversa das seguintes funções de variável real:

  1. $x\to f(x)=3x+2$
     
  2. $x\to g(x)=\frac{2-x}{x}$
     
  3. $x\to h(x)=\frac{x-5}{x+2}$
     
  4. $x\to i(x)={{x}^{3}}-3$

Resolução >> Resolução

  1. Ora, ${{D}_{f}}=\mathbb{R}$ e ${{D}_{f}}’=\mathbb{R}$.
    \[y=3x+2\Leftrightarrow 3x=y-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\]
    Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{f}^{-1}}: & \mathbb{R}\to \mathbb{R}  \\
       {} & x\to \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}  \\
    \end{array}\]
     
  2. Ora, ${{D}_{g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Dadas as funções 0

Dadas as funções

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 71

Enunciado

Dadas as funções definidas em $\mathbb{R}$ por \[\begin{matrix}
   f(x)=3x-4 & e & g(x)=\frac{1}{x}  \\
\end{matrix}\]

  1. Determine:
    $(f+g)(5)$ $(f-g)(5)$ $(f\times g)(5)$ $(f\div g)(5)$
    $(f\circ g)(5)$ $(g\circ f)(5)$ $(f\circ f)(5)$ $(g\circ g)(5)$

     

  2. Caracterize as funções:
    $f+g$ $f-g$ $f\times g$ $f\div g$
    $f\circ g$ $g\circ f$ $f\circ f$ $g\circ
Sendo $f$ e $g$ funções reais de variável real 0

Sendo $f$ e $g$ funções reais de variável real

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 66

Enunciado

Sendo $f$ e $g$ funções reais de variável real, caracterize $f\circ g$ e $g\circ f$ em cada um dos casos:

  1. $\begin{matrix}
       f(x)={{x}^{2}}+2x+1 & e & g(x)=3{{x}^{2}}+1  \\
    \end{matrix}$
     
  2. $\begin{matrix}
       f(x)={{x}^{2}}+2x & e & g(x)=\left| x \right|+1  \\
    \end{matrix}$
     
  3. $\begin{matrix}
       f(x)={{x}^{3}} & e & g(x)=\frac{1}{x-3}  \\
    \end{matrix}$

Resolução

Considere a função real de variável real 0

Considere a função real de variável real

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 65

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: \[f(x)=5x+3\]

Mostre que as funções $f\circ f$ e ${{f}^{2}}$ são distintas.

(${{f}^{2}}$ designa a função $f\times f$,produto de $f$ por si própria.)

Resolução >> Resolução

Ora, ${{D}_{f\circ f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\in {{D}_{f}}\wedge f(x)\in {{D}_{f}} \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R}\wedge (5x+3)\in …

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Mais sobre derivadas

11.º Ano: Ficha de Trabalho

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.

A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.

Bom Trabalho!

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SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
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Determine os números reais a, b e c

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 60

Enunciado

  1. Determine os números reais a, b e c tais que: \[\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2}\]
  2. Conjecture se o gráfico da função racional definida por \[f(x)=\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}\] tem uma assimptota oblíqua e, no caso afirmativo, indique a sua equação.

Resolução >> Resolução

  1.  Efectuando a divisão do polinómio $3{{x}^{2}}-5x-7$ por $x-2$ pela Regra de
f é outra função racional 0

f é outra função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 59

Enunciado

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\]

Encontre os reais a e b tais que, para todo o $x\ne 1\wedge x\ne -1$, \[f(x)=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}\]

Resolução >> Resolução

Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   f(x) & = & \frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}  \\
   {} & = & \frac{a(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{b(1-x)}{(1-x)(1+x)}  \\
   {} …

f é uma função racional 0

f é uma função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 58

Enunciado

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

Encontre os reais a, b e c tais que, para todo o $x\ne 1$, \[f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

Resolução >> Resolução

Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   f(x) & = & a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
   {} & = & \frac{2a{{(x-1)}^{2}}}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{2b(x-1)}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
   {} & …

Sejam as funções $f$ e $g$ 0

Sejam as funções $f$ e $g$

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 57

Enunciado

Sejam \[\begin{matrix}
   f:x\to \frac{2x+2}{{{x}^{2}}-3x+2} & e & g:x\to \frac{4x-4}{x-2}  \\
\end{matrix}\]

  1. Mostre que $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ são funções racionais e determine o seu domínio.
     
  2. Determine os valores de x tais que $f(x)\le \frac{1}{2}$.

Resolução >> Resolução

  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-3x+2\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:\tilde{\ }\left( x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}
Mostre que $f+g$ é uma função racional 0

Mostre que $f+g$ é uma função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 56

Enunciado

Sejam: \[\begin{matrix}
   f:x\to \frac{3x-4}{{{(x-1)}^{2}}} & e & g:x\to \frac{4}{{{x}^{3}}-1}  \\
\end{matrix}\]

Mostre que $f+g$ é uma função racional e determine o seu domínio.

Resolução >> Resolução

${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{(x-1)}^{2}}\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

${{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-1\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$…

Sejam as funções racionais 0

Sejam as funções racionais

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 55

Enunciado

Sejam as funções racionais definidas por: \[\begin{matrix}
   f(x)=\frac{1}{4x+3} & e & g(x)=\frac{2x-1}{(4x+3)(x-7)}  \\
\end{matrix}\]

  1. Indique o seu domínio.
     
  2. Caracterize $f+g$.
     
  3. Determine $x\in \mathbb{R}$ tal que $f(x)\le g(x)$.

Resolução >> Resolução

  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:4x+3\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3}{4} \right\}$
     
    ${{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:(4x+3)(x-7)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3}{4},7 \right\}$
     
  2. ${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap
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Um objecto move-se ao longo de uma recta

Enunciado

Um objecto move-se ao longo de uma recta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
   d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0)  \\
\end{matrix}\]

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as …