Category: 11.º Ano

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A área de um triângulo

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51

Enunciado

O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.

  1. Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
     
  2. Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
    Qual é o valor dessa área?

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  1. Admitindo
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Como resultado de uma pesquisa de mercado

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 50

Enunciado

Como resultado de uma pesquisa de mercado, o director de uma empresa verificou que a procura dos seus produtos era dada, aproximadamente, por uma função linear de equação \[v=30-2p\] em que v representa a procura, ou seja, o número de artigos (em milhões) que serão vendidos ao …

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A densidade populacional

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49

Enunciado

A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.

Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2, à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, …

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Uma folha rectangular de metal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 48

Resolução

Uma folha rectangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.

Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?

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Para que a caleira transporte …

Considere a função quadrática 0

Considere a função quadrática

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 44

Enunciado

Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.

  1. Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
     
  2. Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida,
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Lançou-se um foguete de fabrico artesanal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43

Enunciado

Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o …

Desenhe os gráficos das funções 2

Desenhe os gráficos das funções

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 195 Ex. 41

Enunciado

  1. Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$  e  $g:x\to {{x}^{3}}$.
     
    Considerando o recângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamentodas duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
     
  2. Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada
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Do terraço de um prédio lançou-se uma bola

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 37

Enunciado

Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]

  1. Qual é a altura do terraço?
     
  2. Qual o intervalo de tempo em
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A lei de Boyle

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 36

Enunciado

A lei de Boyle afirma que, se a temperatura permanece constante, a pressão $p$ e o volume $v$ (em m3) de um certo gás dentro de um recipiente estão relacionados pela expressão
\[p=\frac{200}{v}\]

Determine a taxa de variação de $p$ em relação a $v$ para …

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Um balão esférico está a ser insuflado

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 35

Enunciado

Um balão esférico está a ser insuflado.

Determine a taxa de variação da área $S$ da superfície do balão em relação ao raio $r$:

  1. para $r=1$;
     
  2. para $r=5$.

Nota: A área da superfície esférica é dada por $A=4\pi {{r}^{2}}$.

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  1. Ora, $A'(r)=(4\pi {{r}^{2}})’=8\pi r$.
    Logo,
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Um atleta percorre uma pista de 100 metros

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 34

Enunciado

Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo a que a distância d(t), em metros, percorrida após t segundos, é dada por:
\[d(t)=0,2{{t}^{2}}+8t\]

Determine o valor da velocidade do atleta:

  1. no início da corrida;
     
  2. quando $t=10$ s;
     
  3. ao chegar à meta.

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  1. A
Um projéctil é lançado do solo 0

Um projéctil é lançado do solo

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 33

Enunciado

Um projéctil é lançado do solo, verticalmente, com uma velocidade inicial de 115 m/s. Após $t$ segundos a sua distância $d$ ao solo é dada por:
\[d(t)=115t-5{{t}^{2}}\]

  1. Determine o valor da velocidade nos instantes $t=2$ e $t=3$.
     
  2. Quando é que o projéctil atinge o solo?
    Determine o
O perímetro de uma circunferência 0

O perímetro de uma circunferência

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 32

Enunciado

O perímetro $P$ de uma circunferência de raio $r$ é dado pela expressão $P=2\pi r$.

  1. Calcule a taxa média de variação de $P$ em cada um dos intervalos: $\left[ 2,9 \right]$, $\left[ 2;2,5 \right]$, $\left[ 2;2,1 \right]$, $\left[ 2;2,001 \right]$ e $\left[ 2,2+h \right]$.
     
  2. Qual é o
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Um estudo sobre audiências televisivas

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 31

Enunciado

Um estudo sobre audiências televisivas concluiu que, durante os 90 minutos da transmissão do jogo França-Portugal, do Campeonato da Europa de Futebol, em 2000, a variação do número de telespectadores, no nosso país, foi modelada, aproximadamente, pela função definida por:
\[E(t)=-0,04t+10-\frac{49}{t+10}\]
Em que $E$ representa o número …

Mais taxa média de variação 0

Mais taxa média de variação

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 192 Ex. 30

Enunciado

Seja $f$ uma função polinomial e $h$ um número real positivo.

Calcule a taxa média de variação de $f$ no intervalo $\left[ x,x+h \right]$, nos casos seguintes:

  1. $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$
     
  2. $f(x)={{x}^{3}}-3x+1$
     
  3. $f$ é uma função afim
     
  4. $f$ é uma função constante.

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  1. Considerando $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$, vem:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       t.m.{{v}_{\left[
Calcule a taxa média de variação 0

Calcule a taxa média de variação

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 192 Ex. 29

Enunciado

  1. Dada a função afim $f$: $x\to 3x+5$, calcule a taxa média de variação nos intervalos $\left[ -3,-2 \right]$ e $\left[ -1,3 \right]$.
     
  2. Repita o exercício anterior para a função $g$: $x\to {{x}^{2}}+2x$.

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  1.  
    \[t.m.{{v}_{\left[ -3,-2 \right]}}=\frac{f(-2)-f(-3)}{-2-(-3)}=\frac{(-6+5)-(-9+5)}{1}=3\]
    \[t.m.{{v}_{\left[ -1,3 \right]}}=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{(9+5)-(-3+5)}{4}=3\]
     
  2.  
    \[t.m.{{v}_{\left[ -3,-2 \right]}}=\frac{g(-2)-g(-3)}{-2-(-3)}=\frac{(4-4)-(9-6)}{1}=-3\]
    \[t.m.{{v}_{\left[ -1,3 \right]}}=\frac{g(3)-g(-1)}{3-(-1)}=\frac{(9+6)-(1-2)}{4}=4\] 
Uma parábola e uma hipérbole 0

Uma parábola e uma hipérbole

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 20

Enunciado

Considere, num referencial o.n. do plano, os pontos: $A(1,0)$, $B(-1,-1)$ e $C(-3,2)$.

  1. Determine os números reais a, b e c de modo que a parábola P, de equação $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, passe pelos pontos A, B e C.
     
  2. Considere a hipérbole H de equação $y=\frac{1}{x}$.
     
    a) Verifique que H
Simplifique as fracções 0

Simplifique as fracções

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 19

Enunciado

Sempre que for possível, simplifique as fracções e indique o domínio da função.

Aprecie a correcção dos resultados recorrendo à calculadora gráfica.

  1. $f(x)=\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}$;
     
  2. $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  3. $f(x)=\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}$;
     
  4. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  5. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}$.

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  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-4x\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x({{x}^{2}}-4)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$. 
     
    \[\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}=\frac{2x({{x}^{2}}-4x+4)}{x({{x}^{2}}-4)}=\frac{2x{{(x-2)}^{2}}}{x(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash
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Um aquário aberto em cima

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 18

Enunciado

Um aquário aberto em cima, de forma paralelepipédica, com 45 cm de altura, deve ter o volume de 170 litros.

Sejam x e y o comprimento e a largura da base, respectivamente.

  1. Exprima y como função de x.
     
  2. Exprima, em função de x, a área total do
Duas funções racionais 0

Duas funções racionais

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 17

Enunciado

Sejam

\[\begin{matrix}
   f:x\to \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1} & e & g:x\to \frac{2}{x-1}  \\
\end{matrix}\]

  1. Mostre que $f+g$ e $f-g$ são funções racionais e determine o seu domínio.
     
  2. Resolva gráfica e analiticamente as condições:a) $f(x)\ge 1$

    b) $g(x)\ge x$

    c) $f(x)<-\frac{1}{2}$

    d) $f(x)\ge g(x)$
     

  3. Determine gráfica e analiticamente as coordenadas dos
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Para que um remédio produza o efeito desejado

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 16

Enunciado

Para que um remédio produza o efeito desejado, a sua concentração na corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, o nível terapêutico mínimo.

Suponhamos que a concentração c de um remédio, t horas após ser ingerido, é dada, em mg/l, por: \[c(t)=\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}\]

Se o nível …

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Nível de álcool no sangue

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 12

Enunciado

Pretende-se esboçar o gráfico de N, que dá o “Nivel de álcool no sangue”, em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja.

Sabe-se que:

  • num litro de cerveja existem 40 g de álcool;
  • N(p) é a razão entre
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Uma nódoa circular de tinta

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 11

Enunciado

Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido.

O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por: \[r(t)=\frac{1+3t}{4+t}\,,\,t\ge 0\]

  1. Calcule o raio da nódoa no instante em que foi detectada.
     
  2. Recorrendo à sua calculadora, indique:
  • o instante
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Uma unidade industrial

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 182 Ex. 2

Enunciado

 Uma unidade industrial trata p% da água que lança ao rio.

O custo do tratamento, C(p), é dado em milhares de euros pela expressão \[C(p)=\frac{230p}{100-p}\]

  1. Calcule o custo do tratamento de 10% da água.
     
  2. Apresente uma tabela de valores do custo, de 10% em 10%, e o
Estudo da classe de funções $x\to b+\frac{a}{dx-c}$ 0

Estudo da classe de funções $x\to b+\frac{a}{dx-c}$

Funções racionais

Investigue a influência dos parâmetros a, b, c e d no gráfico da família de funções $x\to b+\frac{a}{dx-c}$ e como obter os seus gráficos a partir do gráfico de $x\to \frac{1}{x}$.

Aproveite a oportunidade para indicar o domínio, o contradomínio, o sinal, a paridade  e o sentido de …