Considere a função $h$
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5
Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]
- Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
- A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\] - Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico da função.
- \[\begin{array}{*{20}{r}}
{2{x^2}}&{ + x}&{ – 1}&{}&x&{ – 3} \\
{ – 2{x^2}}&{ + 6x}&{}&{}&{2x}&{ + 7} \\
\hline
{}&{7x}&{ – 1}&{}&{}&{} \\
{}&{ – 7x}&{ + 21}&{}&{}&{} \\
\hline
{}&{}&{20}&{}&{}&{}
\end{array}\]Tendo em consideração a divisão acima, temos: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}} = 2x + 7 + \frac{{20}}{{x – 3}}\]
- Se $x \to + \infty $, então $\frac{{20}}{{x – 3}} \to {0^ + }$, $2x + 7 \to + \infty $ e, consequentemente, $h\left( x \right) = 2x + 7 + \frac{{20}}{{x – 3}} \to + \infty $.
Isto é: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = + \infty \]
Logo, o gráfico de $h$ não possui assíntota horizontal quando $x \to + \infty $.
No entanto, $y = 2x + 7$ é a equação reduzida de uma assíntota oblíqua do gráfico de $h$ quando $x \to + \infty $.De forma análoga, conclui-se que \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = – \infty \]
Logo, o gráfico de $h$ não possui assíntota horizontal quando $x \to – \infty $.
No entanto, $y = 2x + 7$ é a equação reduzida de uma assíntota oblíqua do gráfico de $h$ quando $x \to – \infty $.Se $x \to {3^ – }$, então $\frac{{20}}{{x – 3}} \to – \infty $ e, consequentemente, $h\left( x \right) = 2x + 7 + \frac{{20}}{{x – 3}} \to – \infty $.
Isto é: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} h\left( x \right) = – \infty \]
De forma análoga, conclui-se que \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} h\left( x \right) = + \infty \]
Logo, a reta de equação $x = 3$ é uma equação da assíntota vertical (bilateral) do gráfico de $h$ quando $x \to 3$.
