Category: Aplicando

Um retângulo 0

Um retângulo

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 112 Ex.4

Enunciado

Um retângulo tem de comprimento $2\sqrt{3}+2$ e de largura $\sqrt{3}-1$.

  1. Calcula o perímetro do retângulo.
     
  2. Mostra que a área do retângulo é um número inteiro.

Resolução >> Resolução

  1. Na unidade de comprimento considerada, o perímetro do retângulo é:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       P & = & 2\times (2\sqrt{3}+2)+2\times (\sqrt{3}-1)  \\
Traduz por uma condição 0

Traduz por uma condição

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 107 Ex.36

Enunciado

Traduz por uma condição:

Na reta real, a distância de um ponto à origem é inferior a 4 unidades.”

Resolução >> Resolução

Comecemos por representar na reta real os pontos cuja distância à origem é inferior a $4$ unidades:

Os pontos que verificam essa condição …

Representa em extensão os seguintes conjuntos 0

Representa em extensão os seguintes conjuntos

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 107 Ex.35

Enunciado

Representa em extensão os seguintes conjuntos:

  1. $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}$
     
  2. $B=\left\{ x\in \mathbb{N}:4x-9\le x<2x+1 \right\}$
     
  3. $C=\left\{ x\in \mathbb{R}:3<\frac{x}{4}\vee 2(x-3)<6x \right\}$

Resolução >> Resolução

  1. $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}$
     
    Comecemos por resolver a condição:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \begin{matrix}
       3(x-1)>4(x+2) & \wedge  & -12\le x+3  \\
    \end{matrix} &
Resolve as inequações 0

Resolve as inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 105 Ex.33

Enunciado

Resolve as inequações:

  1. $-2x-3>3x-13$
     
  2. $3(x+2)<5(1+x)$
     
  3. $5(x+4)>2x$
     
  4. $12x-(x-1)\ge 7x$
     
  5. $5(1+3x)+\frac{1}{2}>5x$
     
  6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x-1)>2x+1$
     
  7. $\frac{y+3}{6}\le 2-\frac{4-3y}{2}$
     
  8. $\frac{7x-3}{4}-\frac{9x-4}{8}>0$
     
  9. ${{(3+x)}^{2}}>{{x}^{2}}-1+7x$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -2x-3>3x-13 & \Leftrightarrow  & -2x-3x>-13+3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -5x>-10  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{-5x}{-5}<\frac{-10}{-5}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<2  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:
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Atenção!

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 9

Enunciado

Um aluno escreveu no seu caderno diário a nota :

 

Este resultado é curioso, não é? Onde está o erro? Resolução >> Resolução Considerando a monotonia parcial da multiplicação, ao multiplicar $-5<-4$ por $h$ há duas situações:

  1. Se $h>0$, então: $$-5h<-4h$$
  2. Se $h<0$, então: $$-5h>-4h$$

Assim, ao …

Sobre um número real 0

Sobre um número real

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 8

Enunciado

Um número $x$ verifica a condição $\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4}$.

Enquadra os seguintes números:

  1. $x-1$
     
  2. $x+2$
     
  3. $3x$
     
  4. $-4x$

Resolução >> Resolução

  1. Pela monotonia da adição, adicionando $-1$ a ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow  & \frac{2}{\underset{(1)}{\mathop{3}}\,}-\underset{(3)}{\mathop{1}}\,<x-1<\frac{3}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\underset{(4)}{\mathop{1}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -\frac{1}{3}<x-1<-\frac{1}{4}  \\
    \end{array}$$
  2.  Pela monotonia
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Ficha de Trabalho

9.º Ano: Os números reais; Inequações

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Os números reais; Inequações.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de Trabalho de …

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O tom de uma nota musical

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 4

Enunciado

O tom de uma nota musical é determinado pela frequência da vibração que a gerou.

Usando os valores a tabela:

N.º de oitavas acima do Dó médio ($n$) 0 1 2 3 4
Frequência em Hertz ($f$) 263 526 1052 2104 4208
  1. Mostre que a sequência das
Propagação de uma doença 0

Propagação de uma doença

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 4

Enunciado

A propagação de uma certa doença segue um crescimento exponencial dado, em função do tempo, pela expressão: $$N={{e}^{0,77\,t}}+6$$ em que $N$ representa o número de pessoas contaminadas e $t$ o número de anos decorridos desde o começo de 1983, início da contagem do tempo ($t=0$).

  1. Determine o
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Num parque de um hipermercado

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 3

Enunciado

Entre as 14 e as 15 horas param, num parque de um hipermercado, automóveis à razão de 12 automóveis por hora (0,2 automóveis por minuto). A seguinte fórmula da estatística pode ser usada para determinar a probabilidade de um carro chegar antes de decorrerem $t$ minutos, após …

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Anestesiar um cão

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 2

Enunciado

Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais.
Suponha que a dose $d$ (em miligramas) necessária para anestesiar um cão de 20 kg, durante o tempo $t$ (em horas) é dada por: $$d(t)=600\times {{2}^{\frac{t}{4}}}$$

  1. Qual a dose necessária para anestesiar um cão com o peso indicado
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Um lago com trutas

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 1

Enunciado

Num lago onde não existiam trutas foi lançada determinada quantidade desses peixes com um ano de idade. O número $N$ de trutas vivas existentes $t$ anos após o lançamento é dado por $$N=5000\times {{e}^{-0,1\,t}}$$

  1. Quantas trutas foram lançadas no lago?  
  2. Ao fim de quantos anos, aproximadamente, existirão
O resultado de cada expressão 0

O resultado de cada expressão

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 4

Enunciado

Copia o quadro e indica, com uma cruz, o resultado de cada expressão:

… é igual a … $2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$
$\sqrt{2}+\sqrt{2}$        
$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$        
$\frac{10\sqrt{2}}{5}$        
$\frac{2}{\sqrt{2}}$        
$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$        
${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$        
${{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}$        

Resolução >> Resolução

… é igual a … $2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$
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Indica qual é o número

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 91 Ex. 14

Resolução

Indica qual o número representado por A na figura seguinte:

Resolução >> Resolução

O triângulo retângulo possui catetos com comprimentos 1 e 3 unidades.

Logo, o comprimento da sua hipotenusa é $h=\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}$ unidades.

Consequentemente, o ponto A tem abcissa $-\sqrt{10}$.

 

<< Resolução
Marca na reta real os pontos 0

Marca na reta real os pontos

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 91 Ex. 13

Enunciado

Marca na reta real os pontos de abcissa:

$-\sqrt{2}$ $\sqrt{8}$ $1-\sqrt{8}$ $\frac{7}{2}$

Resolução >> Resolução

$-\sqrt{2}$ $\sqrt{8}$ $1-\sqrt{8}$ $\frac{7}{2}$

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":866, "height":497, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , …

Calcula o valor das expressões 0

Calcula o valor das expressões

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 89 Ex. 10

Enunciado

Calcula o valor das expressões:

  1. $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
     
  2. ${{\left( \sqrt{2}+2 \right)}^{2}}$
     
  3. $\frac{1}{3}\pi -\pi +3\pi $
     
  4. $(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})$
     
  5. ${{\left( \sqrt{7}-1 \right)}^{2}}$
     
  6. $(2+\sqrt{3})(7-\sqrt{3})$
     
  7. $\sqrt{5}-\sqrt{6}+2\sqrt{5}-2\sqrt{6}$

Resolução >> Resolução

Quadrado de uma soma: $${{(A+B)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$$

Diferença de dois quadrados: $${{A}^{2}}-{{B}^{2}}=(A+B)(A-B)$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-5\sqrt{3} & = & (2+4-5)\sqrt{3}  \\
       {} & = & \sqrt{3}  \\
    \end{array}$$
  2. Aplicando
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Averigua quais os tipos de dízimas

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 85 Ex. 2

 

Enunciado

Averigua quais os tipos de dízima de $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{9}$ e $\frac{10}{13}$.

Resolução >> Resolução A dízima de $\frac{1}{4}=0,25$ é finita.

A dízima de $\frac{4}{9}=0,(4)$ é infinita periódica.

A dízima de $\frac{10}{13}=0,(769230)$ é infinita periódica.

 

<< Enunciado
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Uma sala de espetáculos

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 76

Enunciado

Teatro Ribeiro Conceição – Lamego

Uma sala de espetáculos propõe para a época a compra de bilhetes para 4, 5 ou 6 espetáculos, a preços especiais.

De entre o conjunto de pessoas que compraram os bilhetes especiais, a repartição foi a seguinte:

  • 43,5% escolheram a compra de
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Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75

Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões
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Um sistema de alarme

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 74

Enunciado

Uma fábrica está dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princípio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produção. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:

  • a probabilidade do alarme
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Um fabricante de bolas de ténis

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 73

Enunciado

Um fabricante de bolas de ténis possui três máquinas A, B e C que fornecem respetivamente 10%, 40% e 50% da produção total da sua fábrica.

Um estudo mostrou que a percentagem de bolas defeituosas é 3,5% para a máquina A, 1,5% para a máquina B e …

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Uma agência de publicidade

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 72

Enunciado

Uma agência de publicidade quer testar a eficácia de uma campanha de um anúncio de um novo produto A e faz um estudo que envolve 1000 pessoas.

Os resultados são os seguintes:

  • 650 pessoas viram o anúncio;
  • 300 pessoas compraram o produto A;
  • 100 pessoas compraram o
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Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71

Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
     
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
     
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
     
  4. “Produzirem-se pelo
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No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70

Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

Resolução >> Resolução

A variável aleatória $X$: “Número de buracos feitos pelo João,