Category: Aplicando

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A inversa de uma função

Função inversa: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 15

Enunciado

A função $f$ tem domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ e é definida por $f\left( x \right) = 4{x^2} + 1$.

  1. Esboce o gráfico de $f$ e indique o contradomínio da função.
     
  2. Explique porque existe inversa de $f$ e determine uma expressão para ${f^{ – 1}}\left(
Simplifica as seguintes expressões com radicais 0

Simplifica as seguintes expressões com radicais

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 12

Enunciado

Simplifica as seguintes expressões com radicais:

  1. ${ – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}$
     
  2. $\frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt {500} }} – \sqrt {80} $
     
  3. $5\sqrt[3]{{16}} – 3\sqrt[3]{{54}} \times \sqrt[3]{5}$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      { – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}& = &{\left( { – 1 + 2 + 3}
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 11

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. ${x^4} = 625$
     
  2. ${x^3} =  – 125$
     
  3. ${x^4} + 81 = 0$
     
  4. ${x^3} – 343 = 0$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^4} = 625}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt[4]{{625}}}& \vee &{x = \sqrt[4]{{625}}}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 10

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. $x + \sqrt {2x}  = 0$
     
  2. $x + 3 – \sqrt {2x – 6}  = 0$
     
  3. $\sqrt {1 – x}  + \sqrt {2x}  = 0$

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  1. $x + \sqrt {2x}  = 0$
     
    O domínio da condição é $D =
Caracterize a função inversa 0

Caracterize a função inversa

Função inversa: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 8

Enunciado

Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) =  – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) =  – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]

Como ${D_f} …

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$ 0

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x …

0

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …

Mostre que 0

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
     
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
     
  3. a função definida por $r\left( x
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Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações …

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Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
     
  2. Encontre a lei
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Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
     
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
     
  3. Calcule a velocidade média
Duas regras de derivação 0

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Seja $k$ constante e ${x_0} …