É um número irracional ou racional?
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 3
Averigua se é um número irracional ou um número racional o valor de cada uma das seguintes expressões.
- \(\sqrt {12} – \left( {1 + \sqrt {12} } \right)\)
- \( – \sqrt {\frac{1}{9}} – 1 + \frac{4}{3} + \sqrt {17} \)
- \(\sqrt {\frac{9}{4}} + \left( {\frac{1}{2} – \sqrt 2 } \right)\left( {\frac{1}{2} + \sqrt 2 } \right)\)
- \(10\sqrt 5 – {\left( {5 + \sqrt 5 } \right)^2}\)
Calcula-se o valor de cada expressão e conclui-se se é um número irracional ou um número racional:
Alínea | Cálculo do valor da expressão | Valor irracional ou racional? |
a) | \(\sqrt {12} – \left( {1 + \sqrt {12} } \right) = \sqrt {12} – 1 – \sqrt {12} = – 1\) | Racional |
b) | \( – \sqrt {\frac{1}{9}} – 1 + \frac{4}{3} + \sqrt {17} = – \frac{1}{3} – 1 + \frac{4}{3} + \sqrt {17} = 1 – 1 + \sqrt {17} = \sqrt {17} \) | Irracional |
c) | \[\sqrt {\frac{9}{4}} + \left( {\frac{1}{2} – \sqrt 2 } \right)\left( {\frac{1}{2} + \sqrt 2 } \right) = \frac{3}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{6}{4} + \frac{1}{4} – 2 = – \frac{1}{4}\] | Racional |
d) | \[\begin{array}{*{20}{l}}{10\sqrt 5 – {{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)}^2}}& = &{10\sqrt 5 – \left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {5 + \sqrt 5 } \right)}\\{}& = &{10\sqrt 5 – \left( {{5^2} + 5\sqrt 5 + 5\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \right)}\\{}& = &{10\sqrt 5 – \left( {25 + 10\sqrt 5 + 5} \right)}\\{}& = &{10\sqrt 5 – 25 – 10\sqrt 5 – 5}\\{}& = &{ – 30}\end{array}\] | Racional |