Uma esfera
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 29 Tarefa 6
Enunciado
Na figura está representada uma esfera de raio r e centro O.
A parte sombreada representa uma secção plana nela determinada por um plano perpendicular a [OP] e que contém os pontos B e C.
Os pontos A e B dividem o segmento [OP] em três partes iguais.
- Escreve, em função de r, o raio da secção plana sombreada.
- Sabendo que a área da secção é aproximadamente 20 cm2, determina a área da superfície esférica.
Resolução
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [OBC], temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}s& = &{\sqrt {{{\overline {OC} }^2} – {{\overline {OB} }^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{r^2} – {{\left( {\frac{2}{3}r} \right)}^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{r^2} – \frac{4}{9}{r^2}} }\\{}& = &{\sqrt {\frac{5}{9}{r^2}} }\\{}& = &{\frac{{\sqrt 5 }}{3}r}\end{array}\]- Determinemos o valor de r, em cm:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Sombreada}} = 20}& \Leftrightarrow &{\pi \times {{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}r} \right)}^2} = 20}\\{}& \Leftrightarrow &{\pi \times \frac{5}{9}{r^2} = 20}\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {\frac{{180}}{{5\pi }}} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {\frac{{36}}{\pi }} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \frac{6}{{\sqrt \pi }}}\end{array}\]
Calculemos agora a área da superfície esférica, em cm2:
\[{A_{SE}} = 4\pi \times {\left( {\frac{6}{{\sqrt \pi }}} \right)^2} = 4\pi \times \frac{{36}}{\pi } = 144\]
