Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções
Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 6
Enunciado
No referencial cartesiano da figura estão representados os gráficos de duas funções f e g, respetivamente, a parábola de vértice \(\left( {0,\;0} \right)\) que passa pelo ponto \(A\left( { – 1,\; – 1} \right)\) e a reta DE em que \(D\left( {0,\; – 2} \right)\) e \(E\left( {2,\;0} \right)\).
- Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções.
- Determina as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos.
Resolução
Os gráficos das funções do tipo \(f\left( x \right) = a{x^2}\), com \(a \ne 0\), são parábolas de eixo vertical e vértice na origem.
Como o ponto \(A\left( { – 1,\; – 1} \right)\) pertence ao gráfico de f, vem:\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { – 1} \right) = – 1}& \Leftrightarrow &{a \times {{\left( { – 1} \right)}^2} = – 1}\\{}& \Leftrightarrow &{a = – 1}\end{array}\] Logo, \(f\left( x \right) = – {x^2}\) é uma expressão algébrica de f.
A reta DE tem declive \({m_{DE}} = \frac{{ – 2 – 0}}{{0 – 2}} = 1\) e ordenada na origem \(b = – 2\).
Logo, \(g\left( x \right) = x – 2\) é uma expressão algébrica da função g.
- As abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos, estão calculadas seguidamente.
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = g\left( x \right)}& \Leftrightarrow &{ – {x^2} = x – 2}\\{}& \Leftrightarrow &{{x^2} + x – 2 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 1 \mp \sqrt {1 + 8} }}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 1 \mp 3}}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2}& \vee &{x = 1}\end{array}}\end{array}\]
Logo, as coordenadas dos pontos de interseção são \(\left( { – 2,g\left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 2, – 4} \right)\) e \(\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) = \left( {1, – 1} \right)\).
