A distância que separa a Joana da árvore

A corda fixada nos pontos A e B e a corda fixada nos pontos C e D são paralelas.

Determina a distância que separa a Joana (ponto A) da árvore que está na outra margem do rio.
Explica a tua resposta.

Designemos o pé da árvore, que está na outra margem, pelo ponto P.

Ora, de acordo com o Teorema de Tales, temos:

\[\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PC} }} = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {CD} }} = \frac{{\overline {PB} }}{{\overline {PD} }}\]

Selecionando as duas razões mais à esquerda, \(\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PC} }} = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {CD} }}\), e substituindo os valores conhecidos, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PA} + 2}} = \frac{{40}}{{45}}}& \Leftrightarrow &{45 \times \overline {PA} = 40 \times \left( {\overline {PA} + 2} \right)}\\{}& \Leftrightarrow &{45 \times \overline {PA} = 40 \times \overline {PA} + 80}\\{}& \Leftrightarrow &{45 \times \overline {PA} – 40 \times \overline {PA} = 80}\\{}& \Leftrightarrow &{5 \times \overline {PA} = 80}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {PA} = \frac{{80}}{5}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {PA} = 16}\end{array}\]

Portanto, a distância da Joana à árvore é 16 metros.