Category: Números complexos

Considere o número complexo $z = \alpha  + {\alpha ^2}i$ 0

Considere o número complexo $z = \alpha + {\alpha ^2}i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 40

Enunciado

Considere o número complexo $z = \alpha  + {\alpha ^2}i$.

Represente no plano complexo as imagens de $z$ para $\alpha  = 1$ e depois para $\alpha  =  – 2$, $\alpha  = 0$ e $\alpha  = 3$.

Qual é o conjunto dos pontos imagem de $z$ quando $\alpha …

Quatro números complexos 0

Quatro números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 39

Enunciado

Os pontos ${M_1}$, ${M_2}$, ${M_3}$ e ${M_4}$ são os afixos dos números complexos ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}$ e ${z_4}$.

Sabe-se que $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_2} = i{z_1}}&{\text{;}}&{{z_3} = i{z_2}}&{\text{e}}&{{z_4} = i{z_3}}
\end{array}$$

  1. Como se pode passar de ${M_1}$ a ${M_2}$?
     
  2. Qual é a natureza do quadrilátero $\left[ {{M_1}\,{M_2}\,{M_3}\,{M_4}} \right]$?

Resolução

Os afixos das soluções da equação são vértices de um quadrado 0

Resolva a equação

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 38

Enunciado

  1. Em $C$, fatorize ${z^4} – 16$ num produto de quatro fatores.
     
  2. Resolva a equação ${z^4} – 16 = 0$.
     
  3. Marque no plano complexo asimagens A, B, C e D das soluções e verifique que são vértices de um quadrado.

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^4} – 16}& =
Resolva, em $C$, as equações 0

Resolva, em $C$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 81 Ex. 48

Enunciado

Resolva, em $C$, as equações:

  1. ${z^3} – 4{z^2} + 5z = 0$
     
  2. $\frac{{{z^2} + z}}{{{z^2} – 1}} = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^3} – 4{z^2} + 5z = 0}& \Leftrightarrow &{z\left( {{z^2} – 4z + 5} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}&
Quociente de dois números complexos 0

Quociente de dois números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 78 Ex. 47

Enunciado

  1. Se o quociente entre dois números complexos é um número real, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?
     
  2. Se o quociente entre dois números complexos é um número imaginário puro, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?

Resolução >> Resolução

Consideremos dois números …

Determine os outros vértices do quadrado 0

Determine os outros vértices do quadrado

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 77 Ex. 46

Enunciado

Sendo A o afixo de ${z_A} =  – 3 + 5i$, um vértice de um quadrado e O o ponto médio das suas diagonais, determine os outros vértices do quadrado.

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":673, "height":472, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 …

Determine os outros vértices do quadrado 0

Determine os outros vértices do quadrado

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 77 Ex. 45

Enunciado

Sendo o afixo A de ${z_A} = 2 – 3i$ um dos vértices de um quadrado [OABC], determine os outros vértices, B e C, desse quadrado.

(Pode obter mais do que uma solução)

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":626, "height":437, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, …

Determine o quarto vértice do paralelogramo 0

Determine o quarto vértice do paralelogramo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 75 Ex. 43

Enunciado

Os afixos de $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 2 – i}&,&{{z_2} = 1 + 3i}&{\text{e}}&{{z_3} =  – 3 + 2i}
\end{array}$$ são vértices de um paralelogramo.

Determine o quarto vértice desse paralelogramo.

(Pode obter mais do que uma solução.)

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":674, …

Representação geométrica dos números complexos 0

Representação geométrica dos números complexos

Números complexos

Conjugado e simétrico

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":902, "height":524, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 …

Considere o polinómio 0

Considere o polinómio

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 37

Enunciado

$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$

  1. Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
     
  2. Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 36

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. $\left( {3 – 4i} \right)z = 2 + i$
     
  2. $\left( {1 – i} \right)z + 3 + 4i = 5 – 2iz$
     
  3. ${\left( {1 – i} \right)^2}.\overline z  = 3 – 2i$
     
  4. ${z^2} – 10z + 74 = 0$

Resolução >> Resolução

Escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes 0

Escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 35

Enunciado

Considere os números complexos $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 1 – 2i}&{}&{\text{e}}&{}&{w =  – 5 + 3i}
\end{array}$$ e escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes:

  1. $z + w$
     
  2. $4z – 5w$
     
  3. $z.w$
     
  4. $\frac{z}{w}$
     
  5. ${z^2} – \frac{1}{z}$
     
  6. $\frac{2}{{{z^3}}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {z + w}& =
Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 73 Ex. 41

Enunciado

Mostre, pela definição, que $$\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$$ é uma das raízes quartas de $-1$.

(Recorra ao Binómio de Newton)

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}^4}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^4 {{}^4{C_k} \times {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^{4 …

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$ 0

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 73 Ex. 40

Enunciado

Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

Resolução >> Resolução

Para $z = a + bi$, não nulo, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\frac{1}{z}}& = &{\frac{1}{{a + bi}}} \\   {}& = &{\frac{1}{{a + bi}} \times \frac{{a – bi}}{{a – bi}}} \\   {}& = &{\frac{{a – …

Escreva na forma $a + bi$ 0

Escreva na forma $a + bi$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 72 Ex. 39

Enunciado

Escreva na forma $a + bi$:

  1. $\frac{5}{{3 – i}}$
     
  2. $\frac{{2 + i}}{{2 – i}}$
     
  3. $\frac{{3 + 2i}}{{5i}}$
     
  4. ${i^{101}}$
     
  5. ${i^{1999}} – 2$
     
  6. ${i^{4n}} – 2{i^{4n + 3}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{5}{{3 – i}}}& = &{\frac{5}{{3 – i}} \times \frac{{3 + i}}{{3 + i}}} \\
      {}& = &{\frac{{15
Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 72 Ex. 38

Enunciado

Sendo ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ e ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$, mostre que:

  1. $\overline {{z_1} + {z_2}}  = \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} $
     
  2. $\overline {{z_1}.{z_2}}  = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} $
     
  3. $\overline {{z_1} – {z_2}}  = \overline {{z_1}}  – \overline {{z_2}} $
     
  4. $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}}
Efetue 0

Efetue

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 70 Ex. 35

Enunciado

Efetue:

  1. ${3i\left( {2 + 4i} \right)}$
     
  2. ${\left( {3 + 2i} \right)\left( { – 5 – i} \right)}$
     
  3. ${{{\left( {2 – 3i} \right)}^2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {3i\left( {2 + 4i} \right)}& = &{3i \times 2 + 3i \times 4i} \\
      {}& = &{6i + 12{i^2}} \\
      {}&
Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$ 0

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 69 Ex. 31

Enunciado

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$:

  1. $\left( {5 – 2i} \right) + \left( {7 + 3i} \right)$
     
  2. $\left( {2 – 3i} \right) – \left( {4 + 5i} \right)$
     
  3. $\left( { – 1 + 4i} \right) – \left( { – 6 + i} \right)$
Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções das seguintes equações 0

Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções das seguintes equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 69 Ex. 29

Enunciado

Determine as soluções das seguintes equações:

  1. ${x^3} + 5x = 0$
     
  2. ${x^2} + 4x + 7 = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^3} + 5x = 0}& \Leftrightarrow &{x({x^2} + 5) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{{x^2} + 5 = 0}
    \end{array}}
A partir de ${i^2} =  – 1$ 0

A partir de ${i^2} = – 1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 68 Ex. 27

Enunciado

A partir de ${i^2} =  – 1$

  1. Calcule: ${i^3}$, ${i^4}$, ${i^6}$, ${i^{10}}$, ${i^{96}}$ e ${i^{105}}$.
     
  2. Para todo o $n \in \mathbb{N}$, calcule: ${i^{4n}}$, ${i^{4n + 1}}$, ${i^{4n + 2}}$ e ${i^{4n + 3}}$.

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{i^3} = {i^2} \times i =  – 1 \times i