Considere os números complexos
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 45
Enunciado
Considere os números complexos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{z = x + yi\,\,{\text{de afixo M}}}&;&{{z_1} = x – 4 + i\left( {y + 5} \right)}&{\text{e}}&{{z_2} = x + 4 + i\left( {1 – y} \right)}
\end{array}$$
- Para que valores de $x$ e $y$ se tem ${z_1} = 3{z_2}$?
- Determine e represente no plano complexo o conjunto $C_1$ dos pontos M tais que ${z_1} + {z_2}$ seja um imaginário puro.
- Determine e represente no plano complexo o conjunto $C_2$ dos pontos M tais que ${z_1}.{z_2}$ seja real.
- Mostre que as duas condições seguintes são equivalentes:
a) ${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$
b) ${z_1}.{z_2}$ é um imaginário puro
- Seja A o afixo de $ – 2i$.
Deduza que o conjunto $C_3$ dos pontos M tais que ${z_1}.{z_2}$ é um imaginário puro é a circunferência de centro A e raio 5.
Resolução
- Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1} = 3{z_2}}& \Leftrightarrow &{x – 4 + i\left( {y + 5} \right) = 3\left( {x + 4 + i\left( {1 – y} \right)} \right)} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 4 = 3x + 12}& \wedge &{y + 5 = 3 – 3y}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 8}& \wedge &{y = – \frac{1}{2}}
\end{array}}
\end{array}$$
Portanto, ${z_1} = 3{z_2}$ para ${\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 8}& \wedge &{y = – \frac{1}{2}}
\end{array}}$.
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1} + {z_2}}& = &{x – 4 + i\left( {y + 5} \right) + x + 4 + i\left( {1 – y} \right)} \\
{}& = &{2x + 6i}
\end{array}$$ então $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1} + {z_2}{\text{ é imaginário puro}}}& \Leftrightarrow &{2x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = 0}
\end{array}$$
Logo, ${C_1} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:x = 0 \wedge y \in \mathbb{R}} \right\}$.
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1}.{z_2}}& = &{\left( {x – 4 + i\left( {y + 5} \right)} \right).\left( {x + 4 + i\left( {1 – y} \right)} \right)} \\
{}& = &{{x^2} – 16 + i\left( {x – 4 – xy + 4y} \right) + i\left( {xy + 4y + 5x + 20} \right)} \\
{}& = &{{x^2} + {y^2} + 4y – 21 + i\left( {6x + 8y + 16} \right)}
\end{array} – \left( {y – {y^2} + 5 – 5y} \right)$$ então $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1}.{z_2}{\text{ é real}}}& \Leftrightarrow &{6x + 8y + 16 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{y = – \frac{3}{4}x – 2}
\end{array}$$
Logo, ${C_2} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:y = – \frac{3}{4}x – 2} \right\}$.
- De facto, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1}.{z_2}{\text{ é imaginário puro}}}& \Leftrightarrow &{{x^2} + {y^2} + 4y – 21 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} – 4 – 21 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} = 25}
\end{array}$$
- De facto, ${C_3} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}:{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} = 25} \right\}$ é a circunferência de centro A e raio 5 unidades, lugar geométrico dos pontos M tais que ${z_1}.{z_2}$ é um imaginário puro.
