Cardan e a noção de número complexo
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 44
Gerolamo Cardano (1501 – 1576)
No séc. XVI, ao procurar decompor 10 em dois números cujo produto fosse 40, o Matemático Cardan fez uma primeira abordagem à noção de número complexo, tendo, no entanto, qualificado de “sofisticadas” as raízes quadradas de números negativos e de “subtil e inútil” o resultado a que chegou.
- a) Verifique que é impossível encontrar dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40.
b) Encontre os números complexos ${z_1}$ e ${z_2}$ que satisfazem estas condições.
Designe por ${z_1}$ o que tem coeficiente da parte imaginária negativo.c) Marque no plano complexo os afixos ${M_1}$ e ${M_2}$ desses complexos.
- a) Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $$16{z^4} – {z^2} – 15 = 0$$
b) Marque no plano de Argand as imagens das soluções.
c) Seja A o afixo de $\frac{{ – \sqrt {15} }}{4}i$ e B o afixo de 1.
Mostre que A, B e ${M_2}$ são colineares.d) Encontre o afixo M do complexo $z$ tal que $\left[ {A{M_2}M{M_1}} \right]$ seja um paralelogramo. Construa-o.
- a) Como sabemos, se ${x_1}$ e ${x_2}$ são duas soluções reais de uma equação do 2.º grau, então ela pode ser escrita na forma $${x^2} – Sx + P = 0$$ com $S = {x_1} + {x_2}$ e $P = {x_1} \times {x_2}$. [ver mais (prova ao cuidado do leitor)]
Assim, em $\mathbb{R}$, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 10x + 40 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{10 \pm \sqrt {100 – 160} }}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{10 \pm \sqrt { – 60} }}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
\end{array}$$
Portanto, não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40.b) Em $\mathbb{C}$, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} – 10z + 40 = 0}& \Leftrightarrow &{z = \frac{{10 \pm \sqrt {100 – 160} }}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{z = \frac{{10 \pm \sqrt { – 60} }}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 5 – \sqrt {15} i}& \vee &{z = 5 + \sqrt {15} i}
\end{array}}
\end{array}$$
Portanto, ${z_1} = 5 – \sqrt {15} i$ e ${z_2} = 5 + \sqrt {15} i$.c) Ver abaixo.
- a) Resolvendo a equação, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{16{z^4} – {z^2} – 15 = 0}& \Leftrightarrow &{{z^2} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 960} }}{{32}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{{z^2} = \frac{{1 \pm 31}}{{32}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} = 1}& \vee &{{z^2} = – \frac{{15}}{{16}}}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – 1}& \vee &{z = 1}& \vee &{z = – \frac{{\sqrt {15} }}{4}i}& \vee &{z = \frac{{\sqrt {15} }}{4}i}
\end{array}}
\end{array}$$b) Ver abaixo.
c) Sejam: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{M_1}\left( {5, – \sqrt {15} } \right)}&;&{{M_2}\left( {5,\sqrt {15} } \right)}&;&{A\left( {0, – \frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)}&;&{B\left( {1,0} \right)}&;&{C\left( { – 1,0} \right)}&{\text{e}}&{D\left( {0,\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)}
\end{array}$$
Como $\overrightarrow {AB} = \left( {1,\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)$ e $\overrightarrow {B{M_2}} = \left( {4,\sqrt {15} } \right)$, então $\overrightarrow {B{M_2}} = 4\overrightarrow {AB} $. Logo, sendo os vetores colineares, os três pontos considerados são colineares.d) Para que que $\left[ {A{M_2}M{M_1}} \right]$ seja um paralelogramo, então $$\begin{array}{*{20}{l}}
M& = &{{M_2} + \overrightarrow {A{M_1}} } \\
{}& = &{\left( {5,\sqrt {15} } \right) + \left( {5, – \frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \right)} \\
{}& = &{\left( {10,\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)}
\end{array}$$
