Represente na forma trigonométrica os números complexos
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 91 Ex. 51
Represente na forma trigonométrica os números complexos:
- $z = 3 + 3i$
- $z = – 1 – i$
- $z = 4i$
- $z = – 0,6i$
- $z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- $z = \sqrt 2 – \sqrt 6 i$
- $z = – 3 + \sqrt 3 i$
- $$z = 3 + 3i$$
A localização do afixo do número complexo (no primeiro quadrante, sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, a $3\sqrt 2 $ unidades da origem do referencial) permite-o escrever imediatamente na forma trigonométrica: $z = 3\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}$.De qualquer forma, vem:
$$\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 $$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{\pi }{4}}
\end{array}.$$
Logo, $z = 3\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}$. - $$z = – 1 – i$$
A localização do afixo do número complexo (no terceiro quadrante, sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, a $\sqrt 2 $ unidades da origem do referencial) permite-o escrever imediatamente na forma trigonométrica: $z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{4}$.De qualquer forma, vem:
$$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 $$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
{\operatorname{sen} \theta = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{{5\pi }}{4}}
\end{array}.$$
Logo, $z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{4}$. - $$z = 4i$$
A localização do afixo do número complexo (sobre o semieixo positivo $Oy$ a $4$ unidades da origem do referencial) permite-o escrever imediatamente na forma trigonométrica: $z = 4\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}$.De qualquer forma, vem:
$$\left| z \right| = \sqrt {{0^2} + {4^2}} = 4$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{0}{4}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{4}{4}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = 0} \\
{\operatorname{sen} \theta = 1}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{\pi }{2}}
\end{array}.$$
Logo, $z = 4\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}$. - $$z = – 0,6i$$
A localização do afixo do número complexo (sobre o semieixo negativo $Oy$ a $0,6$ unidades da origem do referencial) permite-o escrever imediatamente na forma trigonométrica: $z = 0,6\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{2}$.De qualquer forma, vem:
$$\left| z \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { – 0,6} \right)}^2}} = 0,6$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{0}{{0,6}}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{{ – 0,6}}{{0,6}}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = 0} \\
{\operatorname{sen} \theta = – 1}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{{3\pi }}{2}}
\end{array}.$$
Logo, $z = 0,6\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{2}$. - $$z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$
A localização do afixo do número complexo (sobre o semieixo negativo $Ox$ a ${\frac{{\sqrt 2 }}{2}}$ unidades da origem do referencial) permite-o escrever imediatamente na forma trigonométrica: $z = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\operatorname{cis} \pi $.De qualquer forma, vem:
$$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{{ – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{0}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = – 1} \\
{\operatorname{sen} \theta = 0}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \pi }
\end{array}.$
Logo, $z = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\operatorname{cis} \pi $. - $$z = \sqrt 2 – \sqrt 6 i$$
Ora,
$$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { – \sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 $$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{{ – \sqrt 6 }}{{2\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{1}{2}} \\
{\operatorname{sen} \theta = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}.$$
Logo, $z = 2\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}$. - $$z = – 3 + \sqrt 3 i$$
Ora,
$$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 $$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = \frac{{ – 3}}{{2\sqrt 3 }}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \theta = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\
{\operatorname{sen} \theta = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.}&{}&{{\text{Portanto}}{\text{, uma solução é }}\theta = \frac{{5\pi }}{6}}
\end{array}.$$
Logo, $z = 2\sqrt 3 \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}$.
