A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: 12.º Ano

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Aplicando / 12.º Ano / Números complexos

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 69 Ex. 31

Enunciado

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$:

  1. $\left( {5 – 2i} \right) + \left( {7 + 3i} \right)$
  2. $\left( {2 – 3i} \right) – \left( {4 + 5i} \right)$
  3. $\left( { – 1 + 4i} \right) – \left( { – 6 + i} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Números complexos

A partir de ${i^2} = – 1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 68 Ex. 27

Enunciado

A partir de ${i^2} =  – 1$

  1. Calcule: ${i^3}$, ${i^4}$, ${i^6}$, ${i^{10}}$, ${i^{96}}$ e ${i^{105}}$.
  2. Para todo o $n \in \mathbb{N}$, calcule: ${i^{4n}}$, ${i^{4n + 1}}$, ${i^{4n + 2}}$ e ${i^{4n + 3}}$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ são as representações gráficas das funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14

Enunciado

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$

  1. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
  2. Resolva graficamente as inequações:a) $f(x) – g(x) \geqslant 0$

    b) $f(x) + g(x) \geqslant 0$

    c) $f(x) \times g(x) < 0$

  3. Indique o contradomínio da restrição da função $g$ ao intervalo $\left] {\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

$C$ é uma semicircunferência

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13

Enunciado

$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.

[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.

H é a projeção ortogonal de M sobre OC.

Existirá um ponto M tal que $\overline {AM}  = \overline {MH} $?

Sugestão:

  1. Exprima $\overline {AM} $ e $\overline {MH}
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
  2. Determine o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2,5} \frac{{f(2,5 + h) – 0,02}}{h}$$
  3. Determine $f'(0)$ e a equação reduzida da reta ${t_1}$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função de $\alpha $.
  3. a) Faça $\overline {AB}  = f(\alpha )$ e mostre que $$f(\alpha ) = \frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}$$b) Determine a função derivada de $f$ em
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções reais de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real:

$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$

Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Caracterize a função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9

Enunciado

Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:

  1. $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
  2. $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
  3. $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
  4. $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
  5. $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
  6. $f(x) = \frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}$
  7. $f(x) = {\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)^2}$
  8. $f(x) = \frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna máxima a área da secção da estrutura trapezoidal?

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em segundos.

  1. Em que instantes é a distância da rolha ao fundo do lago igual a 11,5 m?
  2. Entre que valores varia a distância da rolha ao fundo do lago?
  3. O
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

De um função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6

Enunciado

De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:

$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$

  1. Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
  2. Estude a função $f$ quanto às concavidades e determine analiticamente as abcissas dos pontos de inflexão.
  3. O gráfico de $f$ contém um ponto onde a reta tangente é paralela à reta de equação
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Maré

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5

Enunciado

Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.

A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:

$$M(t) = 4,5\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{6}t – \frac{{5\pi }}{3}} \right) + 7,5$$

com $t$ em horas e $M$ em metros.

  1.  Qual o valor (exato) de $M$ às 2 horas da manhã?
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