Considere as funções reais de variável real
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10
Considere as funções reais de variável real:
$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$
Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.
A reta tangente ao gráfico de uma função é horizontal nos pontos em que a derivada da função é nula, pois a derivada (se existir) da função num ponto de abcissa ${x_0}$ é igual ao declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto, isto é: ${m_t} = f'({x_0})$.
$${f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}$$
$${D_f} = \mathbb{R}$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x)}& = &{\left( {x + 2\operatorname{sen} x} \right)’} \\
{}& = &{1 + 2\cos x}
\end{array}$$
Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to 1 + 2\cos x}
\end{array}$$
Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 + 2\cos x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\cos x = – \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
as abcissas de todos os pontos do gráfico de $f$ em que a reta tangente é horizontal são dadas por: $${x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}$$
Gráfico de f e as suas tangentes horizontais
A reta tangente ao gráfico de uma função é horizontal nos pontos em que a derivada da função é nula, pois a derivada (se existir) da função num ponto de abcissa ${x_0}$ é igual ao declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto, isto é: ${m_t} = f'({x_0})$.
$${g(x) = x + \cos x}$$
$${D_g} = \mathbb{R}$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{g'(x)}& = &{\left( {x + \cos x} \right)’} \\
{}& = &{1 – \sin x}
\end{array}$$
Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{g’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to 1 – \sin x}
\end{array}$$
Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{g'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 – \operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
as abcissas de todos os pontos do gráfico de $g$ em que a reta tangente é horizontal são dadas por: $${x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}$$
Gráfico de g e as suas tangentes horizontais
A reta tangente ao gráfico de uma função é horizontal nos pontos em que a derivada da função é nula, pois a derivada (se existir) da função num ponto de abcissa ${x_0}$ é igual ao declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto, isto é: ${m_t} = f'({x_0})$.
$$h(x) = x + \operatorname{tg} x$$
$${D_h} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{h'(x)}& = &{\left( {x + \operatorname{tg} x} \right)’} \\
{}& = &{1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}$$
Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{h’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}$$
Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{h'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
\end{array}$$
o gráfico de $h$ não possui qualquer tangente horizontal.
O gráfico de h não admite tangentes horizontais
