De um função $f$
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6
Enunciado
De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:
$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$
- Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
- Estude a função $f$ quanto às concavidades e determine analiticamente as abcissas dos pontos de inflexão.
- O gráfico de $f$ contém um ponto onde a reta tangente é paralela à reta de equação $y = 3x$.
Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado às centésimas da abcissa do ponto referido.
Explique como procedeu e apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas até às décimas).
Resolução
De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:
$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$
- O valor pedido é: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x} = f'(\pi ) = 2\pi – 2\cos \left( {4\pi } \right) = 2\pi – 2$$
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f”(x)}& = &{\left( {2x – 2\cos \left( {2x} \right)} \right)’} \\
{}& = &{2 + 2 \times 2\operatorname{sen} \left( {2x} \right)} \\
{}& = &{2 + 4\operatorname{sen} \left( {2x} \right),\forall x \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]}
\end{array}$$
então $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f”(x) = 0}& \Leftrightarrow &{2 + 4\operatorname{sen} \left( {2x} \right) = 0 \wedge x \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} \left( {2x} \right) = – \frac{1}{2} \wedge x \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]} \\
{}& \Leftrightarrow &{\left( {2x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi \vee 2x = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right) \wedge x \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]} \\
{}& \Leftrightarrow &{\left( {x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi \vee x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right) \wedge x \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \left\{ { – \frac{{5\pi }}{{12}}, – \frac{\pi }{{12}},\frac{{7\pi }}{{12}},\frac{{11\pi }}{{12}}} \right\}}
\end{array}$$
Assim, temos:
$x$ ${ – \pi }$ ${ – \frac{{5\pi }}{{12}}}$ ${ – \frac{\pi }{{12}}}$ ${\frac{{7\pi }}{{12}}}$ ${\frac{{11\pi }}{{12}}}$ $\pi $ Sinal de $f”(x) = 2 + 4\operatorname{sen} \left( {2x} \right)$ $+$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $+$ Gráfico de $f$ $ \cup $ P.I. $ \cap $ P.I. $ \cup $ P.I. $ \cap $ P.I. $ \cup $
- A reta tangente referida tem declive ${m_t} = 3$.Logo, a abcissa do ponto de tangência é ${x_0}$, tal que $f'({x_0}) = {m_t} = 3$.
Trata-se, portanto, de determinar graficamente a solução da equação $2x – 2\cos \left( {2x} \right) = 3$ no intervalo $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$.
O valor procurado é $x = 1,03$ (com aproximação às centésimas), abcissa do ponto A:
