Category: 12.º Ano

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Os pontos ${M_1}$, ${M_2}$, ${M_3}$ e ${M_4}$ são os afixos dos números complexos ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}$ e ${z_4}$.

Sabe-se que $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_2} = i{z_1}}&{\text{;}}&{{z_3} = i{z_2}}&{\text{e}}&{{z_4} = i{z_3}}
\end{array}$$

1. Como se pode passar de ${M_1}$ a ${M_2}$?
    
2. Qual é a natureza do quadrilátero $\left[ {{M_1}\,{M_2}\,{M_3}\,{M_4}} \right]$?

Resolução …

• Enunciado
• Resolução

Resolva, em $C$, as equações:

1. ${z^3} – 4{z^2} + 5z = 0$
    
2. $\frac{{{z^2} + z}}{{{z^2} – 1}} = 0$

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1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {{z^3} – 4{z^2} + 5z = 0}& \Leftrightarrow &{z\left( {{z^2} – 4z + 5} \right) = 0} \\
     {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
     {z = 0}&

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1. Se o quociente entre dois números complexos é um número real, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?
    
2. Se o quociente entre dois números complexos é um número imaginário puro, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?

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Consideremos dois números …

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Sendo A o afixo de ${z_A} =  – 3 + 5i$, um vértice de um quadrado e O o ponto médio das suas diagonais, determine os outros vértices do quadrado.

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• Enunciado
• Resolução

Sendo o afixo A de ${z_A} = 2 – 3i$ um dos vértices de um quadrado [OABC], determine os outros vértices, B e C, desse quadrado.

(Pode obter mais do que uma solução)

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var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":626, "height":437, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, …

• Enunciado
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Os afixos de $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 2 – i}&,&{{z_2} = 1 + 3i}&{\text{e}}&{{z_3} =  – 3 + 2i}
\end{array}$$ são vértices de um paralelogramo.

Determine o quarto vértice desse paralelogramo.

(Pode obter mais do que uma solução.)

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var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":674, …

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$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$

1. Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
    
2. Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação

• Enunciado
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Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. $\left( {3 – 4i} \right)z = 2 + i$
    
2. $\left( {1 – i} \right)z + 3 + 4i = 5 – 2iz$
    
3. ${\left( {1 – i} \right)^2}.\overline z  = 3 – 2i$
    
4. ${z^2} – 10z + 74 = 0$

Resolução >> Resolução…

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Considere os números complexos $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 1 – 2i}&{}&{\text{e}}&{}&{w =  – 5 + 3i}
\end{array}$$ e escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes:

1. $z + w$
    
2. $4z – 5w$
    
3. $z.w$
    
4. $\frac{z}{w}$
    
5. ${z^2} – \frac{1}{z}$
    
6. $\frac{2}{{{z^3}}}$

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1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {z + w}& =

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• Resolução

Mostre, pela definição, que $$\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$$ é uma das raízes quartas de $-1$.

(Recorra ao Binómio de Newton)

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}^4}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^4 {{}^4{C_k} \times {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^{4 …

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Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

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Para $z = a + bi$, não nulo, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\frac{1}{z}}& = &{\frac{1}{{a + bi}}} \\   {}& = &{\frac{1}{{a + bi}} \times \frac{{a – bi}}{{a – bi}}} \\   {}& = &{\frac{{a – …

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Escreva na forma $a + bi$:

1. $\frac{5}{{3 – i}}$
    
2. $\frac{{2 + i}}{{2 – i}}$
    
3. $\frac{{3 + 2i}}{{5i}}$
    
4. ${i^{101}}$
    
5. ${i^{1999}} – 2$
    
6. ${i^{4n}} – 2{i^{4n + 3}}$

Resolução >> Resolução

1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {\frac{5}{{3 – i}}}& = &{\frac{5}{{3 – i}} \times \frac{{3 + i}}{{3 + i}}} \\
     {}& = &{\frac{{15

• Enunciado
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Efetue:

1. ${3i\left( {2 + 4i} \right)}$
    
2. ${\left( {3 + 2i} \right)\left( { – 5 – i} \right)}$
    
3. ${{{\left( {2 – 3i} \right)}^2}}$

Resolução >> Resolução

1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {3i\left( {2 + 4i} \right)}& = &{3i \times 2 + 3i \times 4i} \\
     {}& = &{6i + 12{i^2}} \\
     {}&

• Enunciado
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Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$:

1. $\left( {5 – 2i} \right) + \left( {7 + 3i} \right)$
    
2. $\left( {2 – 3i} \right) – \left( {4 + 5i} \right)$
    
3. $\left( { – 1 + 4i} \right) – \left( { – 6 + i} \right)$

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Determine as soluções das seguintes equações:

1. ${x^3} + 5x = 0$
    
2. ${x^2} + 4x + 7 = 0$

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1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {{x^3} + 5x = 0}& \Leftrightarrow &{x({x^2} + 5) = 0} \\
     {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
     {x = 0}& \vee &{{x^2} + 5 = 0}
   \end{array}}