Outro triângulo inscrito numa circunferência
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 3
Enunciado
Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
- A, B, C e D são pontos da circunferência;
- o segmento de reta [BD] é um diâmetro;
- E é o ponto de interseção das retas BD e AC;
- o triângulo [ADE] é retângulo em E;
- \(C\widehat AD = 30^\circ \).
- Qual é a amplitude, em graus, do arco CD?
- Sabendo que \(\overline {AD} = 5\), determina \(\overline {ED} \).
Apresenta todos os cálculos que efetuares. - Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.
«Os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais].»
Resolução
Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
-
A, B, C e D são pontos da circunferência;
-
o segmento de reta [BD] é um diâmetro;
-
E é o ponto de interseção das retas BD e AC;
-
o triângulo [ADE] é retângulo em E;
-
\(C\widehat AD = 30^\circ \).
- Tendo em consideração que CAD é um ângulo inscrito, vem: \(\overparen{CD} = 2 \times C\widehat AD = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \).
- No triângulo retângulo [ADE], vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} C\widehat AD = \frac{{\overline {ED} }}{{\overline {AD} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ = \frac{{\overline {ED} }}{5}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {ED} = 5 \times {\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ }\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {ED} = 2,5}\end{array}\] - A reta BD é a mediatriz do segmento [AC], pois é-lhe perpendicular e o ponto O é equidistante dos extremos do segmento, visto [OA] e [OC] serem raios da mesma circunferência.
Assim, temos:
– \(\left[ {AE} \right] \cong \left[ {{\rm{CE}}} \right]\);
– \(\left[ {ED} \right]\) é lado comum aos dois triângulos;
– \(AED \cong CED\)
Consequentemente, pelo critério LAL, os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais.
