A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: 12.º Ano

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23

Enunciado

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Dadas as funções reais de variável real

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 21

Enunciado

Dadas as funções reais de variável real, assim definidas:$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = {x^2} + 1}&{\text{e}}&{g(x) = \frac{1}{x}}
\end{array}$$

  1. Determine, em função de $h$, a taxa média de variação de cada uma das funções no intervalo $\left[ {1,1 + h} \right]$, com $h > 0$.
  2. Calcule se existir:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}$
    ­
    b) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}$
    ­
    c) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

Calcule os seguintes limites, se existirem

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 20

Enunciado

Calcule os seguintes limites, se existirem:

  1. ${\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 4x + 3}}{{x + 1}}}$
    ­
  2. ${\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$
    ­
  3. ${\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left( {2{t^3} + {t^2} + 1} \right)}$
    ­
  4. ${\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} \frac{{{m^3} + 1}}{{m + 1}}}$
    ­
  5. ${\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{{r^4} – 16}}{{r – 2}}}$
    ­
  6. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| { –
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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Limites laterais da função $f$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 14

Enunciado

Sabe-se que $f({u_n}) = 2$ e $f({v_n}) =  – 2$ para todas as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$ nas condições seguintes:

  • $\begin{array}{*{20}{l}}   {({u_n} \in {D_f}}& \wedge &{{u_n} > 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{u_n} \to 3} \end{array}$
  • $\begin{array}{*{20}{l}}   {({v_n} \in {D_f}}& \wedge &{{v_n} < 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{v_n} \to 3} \end{array}$

Conclua, caso seja possível, quanto à existência e ao valor:

  1. dos limites laterais da função $f$ no ponto de abcissa 3;
  2. do limite da função
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Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando / 12.º Ano

Função logística

Exploração da representação gráfica influenciada pela variação de parâmetros na função logística
Evolução de uma população

Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.

Um primeiro aspecto que convém notar é que se vai representar por uma função real de variável real um número de indivíduos que é necessariamente inteiro. Isto é aceitável porque se pretende apenas uma aproximação do número de … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Número de habitantes de um certo país

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34

Enunciado

Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$

com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.

  1. Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
  2. Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?
  3. Em que ano serão atingidos os 45 milhões de habitantes?
  4. A longo prazo, quantos habitantes terá presumivelmente o país, se aquele modelo continuar
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Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando / 12.º Ano

Um depósito num banco

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13

Enunciado

Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão

$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$

Sabendo que se depositaram 1000 € à taxa anual de 4%, calcule o capital acumulado após 10 anos se os juros forem capitalizados:

  1. anualmente;
  2. trimestralmente;
  3. mensalmente;
  4. de hora a hora;
  5. de minuto
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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Considere as funções

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12

Enunciado

Considere as funções
$$\begin{array}{*{35}{l}}
f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3}  \\
g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}}  \\
h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2  \\
\end{array}$$

  1. Indique o domínio de cada uma das funções.
  2. Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
  3. Determine os zeros de cada uma das funções.
  4. Determine os valores de $x$ para os quais $h(x)\le -2$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

A magnitude de um sismo

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 11

Enunciado

A magnitude $M$ de um sismo registada na escala de Richter está relacionada com a energia total $E$, em Joule, libertada por esse sismo pela fórmula: $$M=0,694\log E-3,64$$

  1. Exprima $E$ em função de $M$.
  2. Verifique se é verdadeira a afirmação:
    “Um sismo de magnitude 6 liberta, aproximadamente, 28 vezes mais energia do que um sismo de magnitude 5.”
  3. Por volta das 8 horas do dia 26 de Dezembro de 2004, um sismo de magnitude 9
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12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando

Duas funções reais de variável real

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right)  \\
\end{matrix}$$

  1. Qual  o domínio de cada uma das funções?
  2. Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a representa.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

O nível de um som

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 9

Enunciado

O nível $S$ de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade $I$, medida em Watt por metro quadrado, de acordo com a lei $$S=10\log \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)$$ sendo ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}$ Watt por metro quadrado a menor intensidade de som que o ouvido humano pode detetar:

  1.  Calcule o nível de som quando $I={{I}_{0}}$.
  2. Verifique que $S=120+10\log I$.
  3. Admita que o nível de ruído de música rock amplificada, ouvido por alguém que se encontra numa discoteca, é
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Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando / 12.º Ano

Uma função

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 8

Enunciado

Seja $f$ a função definida em ${{\mathbb{R}}^{+}}$ por $$f(x)={{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x$$

  1. Mostre que $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x$, para qualquer $x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
  2. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de $f$ com a reta de equação $y=3$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

A população de uma cidade

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7

Enunciado

A população de uma cidade aumenta 5% por ano.

Supõe-se que no início de 1990 a população era de 100.000 habitantes.

  1. Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
    Qual o valor de $P(1)$?
    Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e $P(n+1)$ e, em seguida, deduza a expressão de $P(n)$ em função de $n$.
  2. Qual será o número de habitantes da referida cidade no início do ano 2010?
  3. A partir de
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12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando

A escala de Richter

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 6

Enunciado

A escala de Richter permite converter a amplitude máxima dos registos feitos por um sismógrafo num número que nos permite estabelecer uma medida para a magnitude $M$ de um sismo.

Naquela escala, um sismo de nível zero é aquele em que a amplitude máxima dos registos dos sismógrafos situados a $100$ km do epicentro é $0,001$ milímetros.

A magnitude $M$ de um sismo em que o sismógrafo situado a $100$ km do epicentro regista amplitudes máximas de … Ler mais