Limites laterais da função $f$
Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 14
Enunciado
Sabe-se que $f({u_n}) = 2$ e $f({v_n}) = – 2$ para todas as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$ nas condições seguintes:
- $\begin{array}{*{20}{l}} {({u_n} \in {D_f}}& \wedge &{{u_n} > 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{u_n} \to 3} \end{array}$
- $\begin{array}{*{20}{l}} {({v_n} \in {D_f}}& \wedge &{{v_n} < 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{v_n} \to 3} \end{array}$
Conclua, caso seja possível, quanto à existência e ao valor:
- dos limites laterais da função $f$ no ponto de abcissa 3;
- do limite da função $f$ no ponto de abcissa 3.
Resolução
- Como para toda a sucessão $({u_n})$, tal que $\begin{array}{*{20}{l}} {({u_n} \in {D_f}}& \wedge &{{u_n} > 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{u_n} \to 3} \end{array}$, se tem $\mathop {\lim }\limits_{} \left( {f({u_n})} \right) = 2$, então \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = 2\]
Como para toda a sucessão $({v_n})$, tal que $\begin{array}{*{20}{l}} {({v_n} \in {D_f}}& \wedge &{{v_n} < 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{v_n} \to 3} \end{array}$, se tem $\mathop {\lim }\limits_{} \left( {f({v_n})} \right) = – 2$, então \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f(x) = – 2\] - Não existe $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)$$ pois $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)$$
