Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função
Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23
Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$
Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right]}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}} – \left( {2x – 1} \right)} \right]}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1 – 2{x^3} + {x^2} + 2x – 1}}{{{x^2} – 1}}}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{x^2} – 1}}}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{{{x^2}}}}}}\\{}& = &0\end{array}\]
Como $$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right] = 0$$ então a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico de $f$, quando ${x \to – \infty }$ e quando ${x \to + \infty }$.
