A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções \[\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = \frac{{2x – 5}}{{x – 3}}}&{\text{e}}&{{y_2} = \frac{{x + 7}}{{3x + 2}}}
\end{array}\]

  1. Escreva as expressões analíticas de ${y_1}$ e ${y_2}$ na forma \[y = a + \frac{b}{{cx + d}}\]
  2. Represente graficamente as funções.
  3. Relacione o parâmetro $a$ com as equações das assíntotas do gráfico da função.

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Funções racionais / Aplicando / 11.º Ano

Mais assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Equações das assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 7

Enunciado

  1. Indique, por observação do gráfico, as equações das assíntotas de cada uma das seguintes funções:
  2. Faça corresponder a cada um dos gráficos das alíneas anteriores uma das seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
    {f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x}}
    \end{array}\]

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.

  1. Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
  2. Resolva a equação $f(x) = g\left( {\frac{{5\pi }}{2}} \right)$ e apresente as soluções na forma $\ln \left( {ke} \right)$, em que $k$ é um número real positivo.
  3. Recorrendo à
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.

  1. Determine o contradomínio de $f$.
  2. Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
    Escreva uma equação da assíntota oblíqua.
  3. Indique, justificando, quais
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Considere a função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108

Enunciado

Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$

  1. Determine o domínio e zeros de $f$.
  2. Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
  3. Estude a monotonia da função.
  4. Esboce o gráfico de $f$.
  5. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $\ln 2$.
  6. A partir do gráfico obtido, construa os gráficos de $f( – x)$, $\left| {f(x)} \right|$, $2\,f(x)$ e $f(x – 2)$.
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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 24

Enunciado

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1}}{{3{x^2} + 1}}$$

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23

Enunciado

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$

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