Na figura está representada uma circunferência
Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 149 Ex. 3
Enunciado
Na figura está representada uma circunferência.
Sabe-se que:
- [AC] é um diâmetro de comprimento 15;
- B é um ponto da circunferência.
- \(\overline {AB} = 12\)
- Justifica que o triângulo [ABC] é retângulo em B.
- Calcula a área da região sombreada a laranja na figura.
Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.
Resolução
-
[AC] é um diâmetro de comprimento 15; -
B é um ponto da circunferência.
-
\(\overline {AB} = 12\)
- Como [AC] é um diâmetro, então o ângulo ABC está escrito num arco de semicircunferência. Consequentemente, este ângulo é retângulo, pois \(A\widehat BC = \frac{{\overparen{AC}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
- Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ABC], temos:
\[\overline {BC} = \sqrt {{{\overline {AC} }^2} – {{\overline {AB} }^2}} = \sqrt {{{15}^2} – {{12}^2}} = \sqrt {81} = 9\]
Portanto, a área (em u.a.) da região sombreada a laranja na figura é:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Sombreada}}}& = &{{A_\bigcirc } – {A_{\left[ {ABC} \right]}}}\\{}& = &{\pi \times {{\left( {{\textstyle{{15} \over 2}}} \right)}^2} – \frac{{12 \times 9}}{2}}\\{}& = &{\frac{{225\pi – 216}}{4}}\\{}& \approx &{123}\end{array}\]
