Um hexágono regular

Comecemos por provar que o triângulo [AOB] é equilátero:

[OA] e [OB] são raios da mesma circunferência, logo o triângulo [AOB] é isósceles.

Num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Logo, os ângulos OAB e OBA são geometricamente iguais.

Como a amplitude do ângulo ao centro AOB é 60º, pois é igual à amplitude de cada um dos 6 arcos geometricamente iguais em que a circunferência foi dividida, resulta que os três ângulos internos do triângulo [AOB] são geometricamente iguais.

Sendo equiângulo, o triângulo [AOB] é equilátero.

Calculemos agora o apótema:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [AOM], temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\overline {OM} }& = &{\sqrt {{{\overline {AO} }^2} – {{\overline {AM} }^2}} } \\
{}& = &{\sqrt {{4^2} – {2^2}} } \\
{}& = &{\sqrt {12} } \\
{}& = &{2\sqrt 3 }
\end{array}$$

Assim, a área do triângulo [AOB] é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_{[AOB]}}}& = &{\frac{{\overline {AB}  \times \overline {OM} }}{2}} \\
{}& = &{\frac{{4 \times 2\sqrt 3 }}{2}} \\
{}& = &{4\sqrt 3 \,\,c{m^2}}
\end{array}$$

Logo, a área do hexágono é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
A& = &{6 \times {A_{[AOB]}}} \\
{}& = &{6 \times 4\sqrt 3 } \\
{}& = &{24\sqrt 3 \,\,c{m^2}}
\end{array}$$