A área da região a branco

A área da região a branco pode ser vista como a diferença entre a área da região quadrada e a soma das áreas dos três triângulos coloridos.
Assim, temos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Branca}}}& = &{{A_{\left[ {ABCD} \right]}} – \left( {{A_{\left[ {AFD} \right]}} + {A_{\left[ {BFE} \right]}} + {A_{\left[ {CDE} \right]}}} \right)}\\{}& = &{{{\overline {AB} }^2} – \left( {\frac{{\overline {AD} \times \overline {AF} }}{2} + \frac{{\overline {BF} \times \overline {BE} }}{2} + \frac{{\overline {CD} \times \overline {CE} }}{2}} \right)}\\{}& = &{8 \times 8 – \left( {\frac{{8 \times \left( {8 – x} \right)}}{2} + \frac{{x \times \left( {8 – 5} \right)}}{2} + \frac{{8 \times 5}}{2}} \right)}\\{}& = &{64 – \left( {32 – 4x + \frac{{3x}}{2} + 20} \right)}\\{}& = &{12 + \frac{{5x}}{2}}\end{array}\]

Vamos considerar que o vértice não fixo do triângulo que define a região branca (ponto F) pode deslocar-se ao longo do segmento de reta [AB], podendo coincidir com A e com B.

Tendo isto em conta, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Branca}} \le \frac{{{A_{Quadrada}}}}{4}}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{12 + \frac{{5x}}{2} \le \frac{{64}}{4}}& \wedge &{0 \le x \le 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5x}}{2} \le 4}& \wedge &{0 \le x \le 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{8}{5}}& \wedge &{0 \le x \le 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{0 \le x \le \frac{8}{5}}\\{}&{}&{}\\{}&{}&{S = \left[ {0,\;\frac{8}{5}} \right]}\end{array}\]

Portanto, a área da região a branco da figura é menor ou igual a um quarto da região quadrada para \(x \in \left[ {0,\;\frac{8}{5}} \right]\).