A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Considere a função $h$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]

  1. Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
  2. A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\]
  3. Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
  2. Estude a variação de $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.
  3. Mostre que $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$ e conjeture os limites de $f$ em
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Determine

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18

Enunciado

  1. Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
  2. Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na alínea anterior.

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12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando

Calcule, se existir

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17

Enunciado

Calcule, se existir:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
  2. $\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
  4. $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$

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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?

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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
  3. Justifique que, apesar
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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 87

Enunciado

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados:

  1. $x \to f(x) = {e^{\sqrt[3]{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
  2. $x \to f(x) = {e^{ – {x^2}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
  3. $x \to f(x) = \frac{{{x^5}}}{{{2^x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
  4. $x \to f(x) = {x^2}\,{e^{\frac{1}{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 35

Enunciado

 Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

  1. Prove, usando um processo analítico, que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua.
  2. Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função $g$ tem um zero no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 33

Enunciado

Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x <  – 2} \\
{\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant  – 2}
\end{array}} \right.$$

  1. Faça o estudo da continuidade da função $h$.
  2. Prove que a função $h$ tem um zero no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 27

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$

  1. Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.
    $x$ $-2$ $0$ $1$ $2$
    $f(x)$
  2. Justifique a seguinte afirmação:
    “A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.”
  3. Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 24

Enunciado

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1}}{{3{x^2} + 1}}$$

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23

Enunciado

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

Dadas as funções reais de variável real

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 21

Enunciado

Dadas as funções reais de variável real, assim definidas:$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = {x^2} + 1}&{\text{e}}&{g(x) = \frac{1}{x}}
\end{array}$$

  1. Determine, em função de $h$, a taxa média de variação de cada uma das funções no intervalo $\left[ {1,1 + h} \right]$, com $h > 0$.
  2. Calcule se existir:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}$
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    b) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}$
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    c) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

Calcule os seguintes limites, se existirem

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 20

Enunciado

Calcule os seguintes limites, se existirem:

  1. ${\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 4x + 3}}{{x + 1}}}$
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  2. ${\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$
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  3. ${\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left( {2{t^3} + {t^2} + 1} \right)}$
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  4. ${\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} \frac{{{m^3} + 1}}{{m + 1}}}$
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  5. ${\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{{r^4} – 16}}{{r – 2}}}$
    ­
  6. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| { –
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