A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Use a calculadora gráfica

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 75

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Enunciado

  1. Use a calculadora gráfica e conjeture quais das seguintes funções polinomiais têm função inversa:
    ${{f}_{1}}(x)={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+5x-5$ ${{f}_{2}}(x)=2x+{{x}^{2}}$ ${{f}_{3}}(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-5$
    ${{f}_{4}}(x)=2x-{{x}^{2}}$ ${{f}_{5}}(x)=2x+{{x}^{3}}$ ${{f}_{6}}(x)=2x-{{x}^{3}}$
  2. Para as que admitiu serem funções injetivas, calcule a imagem, pela inversa, de 10, com aproximação às centésimas.

Resolução

  1. Para cada uma das seis funções consideradas, tem-se:
    ${{f}_{1}}(x)={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+5x-5$
    A função não admite inversa, pois é uma função não injetiva.
    Note que há objetos diferentes com igual imagem (Há retas horizontais que intersectam o gráfico da função em mais do que um ponto).
    ${{f}_{2}}(x)=2x+{{x}^{2}}$
    A função não admite inversa, pois é uma função não injetiva.
    Note que há objetos diferentes com igual imagem (Há retas horizontais que intersectam o gráfico da função em mais do que um ponto).
    ${{f}_{3}}(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-5$
    ${{f}_{3}}'(x)=3{{x}^{2}}-4x+5$
    Como ${{f}_{3}}'(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$, a função é estritamente crescente e, portanto, é injetiva.
    A função admite inversa, pois é uma função injetiva.
    ${{f}_{4}}(x)=2x-{{x}^{2}}$
    A função não admite inversa, pois é uma função não injetiva.
    Note que há objetos diferentes com igual imagem (Há retas horizontais que intersectam o gráfico da função em mais do que um ponto).
    ${{f}_{5}}(x)=2x+{{x}^{3}}$
    ${{f}_{5}}'(x)=2+3{{x}^{2}}$
    Como ${{f}_{5}}'(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$, a função é estritamente crescente e, portanto, é injetiva.
    A função admite inversa, pois é uma função injetiva.
    ${{f}_{6}}(x)=2x-{{x}^{3}}$
    A função não admite inversa, pois é uma função não injetiva.
    Note que há objetos diferentes com igual imagem (Há retas horizontais que intersectam o gráfico da função em mais do que um ponto).
  2. Com a aproximação pedida, obtém-se: $f_{3}^{-1}(10)\approx 2,45$ e $f_{5}^{-1}(10)\approx 1,85$.
    (Ver gráficos correspondentes, acima.)

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