Gráficos de duas funções

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, os pontos A e B e partes dos gráficos de duas funções, f e g.
Sabe-se que:

• o ponto O é a origem do referencial;

• a função f é uma função de proporcionalidade direta;

• a função g é uma função de proporcionalidade inversa;

• o ponto A pertence ao gráfico de f e tem coordenadas \(\left( {8,\;6} \right)\);

• o ponto B pertence ao gráfico de f e ao gráfico de g e tem abcissa igual a 4.

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1. Como o declive da reta AB é \({m_{AB}} = \frac{{6 – 0}}{{8 – 0}} = \frac{3}{4}\), então \(f\left( x \right) = \frac{3}{4}x\).
   Assim, a ordenada do ponto B é \({y_B} = f\left( 4 \right) = \frac{3}{4} \times 4 = 3\).
   Finalmente, como g é uma função de proporcionalidade inversa, temos:\[\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) = \frac{{{x_B} \times {y_B}}}{x}}& \Leftrightarrow &{g\left( x \right) = \frac{{4 \times 3}}{x}}\\{}& \Leftrightarrow &{g\left( x \right) = \frac{{12}}{x}}\end{array}\]Portanto, a alternativa correta é a [D].
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2. Por aplicação do Teorema de Pitágoras, vem: \(\overline {OA} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = \sqrt {100} = 10\).
   Assim, o perímetro do triângulo [AOC] é \({P_{\left[ {AOC} \right]}} = \overline {AO} + \overline {OC} + \overline {AC} = 10 + 10 + 12 = 32\).