A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: 11.º Ano

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Aplicando / 11.º Ano / Funções com radicais

Considere as funções reais de variável real

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 205 Ex. 79

Enunciado

Considere as funções reais de variável real assim definidas: \[\begin{matrix}
f:x\to \sqrt{x-2}+1 & {} & g:x\to \sqrt{2{{x}^{2}}-9}-x  \\
\end{matrix}\]

  1. Determine os domínios de f e de g.
  2. Determine os zeros de cada uma das funções.

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Aplicando / 11.º Ano / Função inversa

Use a calculadora gráfica

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 75

Enunciado

  1. Use a calculadora gráfica e conjeture quais das seguintes funções polinomiais têm função inversa:
    ${{f}_{1}}(x)={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+5x-5$ ${{f}_{2}}(x)=2x+{{x}^{2}}$ ${{f}_{3}}(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-5$
    ${{f}_{4}}(x)=2x-{{x}^{2}}$ ${{f}_{5}}(x)=2x+{{x}^{3}}$ ${{f}_{6}}(x)=2x-{{x}^{3}}$
  2. Para as que admitiu serem funções injetivas, calcule a imagem, pela inversa, de 10, com aproximação às centésimas.

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Aplicando / 11.º Ano / Função inversa

Qual o valor lógico das proposições?

Função inversa: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 74

Enunciado

Qual o valor lógico das proposições?

  1. A função $f:x\to {{x}^{2}}-2$ admite função inversa.
  2. Nenhuma função par admite função inversa.
  3. Algumas funções ímpares admitem função inversa.

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Aplicando / 11.º Ano / Função composta

Dadas as funções

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 71

Enunciado

Dadas as funções definidas em $\mathbb{R}$ por \[\begin{matrix}
f(x)=3x-4 & e & g(x)=\frac{1}{x}  \\
\end{matrix}\]

  1. Determine:
    $(f+g)(5)$ $(f-g)(5)$ $(f\times g)(5)$ $(f\div g)(5)$
    $(f\circ g)(5)$ $(g\circ f)(5)$ $(f\circ f)(5)$ $(g\circ g)(5)$
  2. Caracterize as funções:
    $f+g$ $f-g$ $f\times g$ $f\div g$
    $f\circ g$ $g\circ f$ $f\circ f$ $g\circ g$

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11.º Ano / Função composta / Aplicando

Sendo $f$ e $g$ funções reais de variável real

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 66

Enunciado

Sendo $f$ e $g$ funções reais de variável real, caracterize $f\circ g$ e $g\circ f$ em cada um dos casos:

  1. $\begin{matrix}
    f(x)={{x}^{2}}+2x+1 & e & g(x)=3{{x}^{2}}+1  \\
    \end{matrix}$
  2. $\begin{matrix}
    f(x)={{x}^{2}}+2x & e & g(x)=\left| x \right|+1  \\
    \end{matrix}$
  3. $\begin{matrix}
    f(x)={{x}^{3}} & e & g(x)=\frac{1}{x-3}  \\
    \end{matrix}$

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Aplicando / 11.º Ano / Função composta

Considere a função real de variável real

Função composta: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 65

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: \[f(x)=5x+3\]

Mostre que as funções $f\circ f$ e ${{f}^{2}}$ são distintas.

(${{f}^{2}}$ designa a função $f\times f$,produto de $f$ por si própria.)

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Mais sobre derivadas

11.º Ano: Ficha de Trabalho

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.

A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.

Bom Trabalho!

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada por \[A(x)=2{{x}^{2}}+\frac{8}{x}\]
    (x é o comprimento da aresta da base, em dm)
    Nota: Recorde que $1\ litro=1\ d{{m}^{3}}$.
  2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de x
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Aplicando / 11.º Ano / Operações com funções

Determine os números reais a, b e c

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 60

Enunciado

  1. Determine os números reais a, b e c tais que: \[\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2}\]
  2. Conjecture se o gráfico da função racional definida por \[f(x)=\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}\] tem uma assimptota oblíqua e, no caso afirmativo, indique a sua equação.

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Operações com funções / Aplicando / 11.º Ano

f é outra função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 59

Enunciado

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\]

Encontre os reais a e b tais que, para todo o $x\ne 1\wedge x\ne -1$, \[f(x)=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Operações com funções

f é uma função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 58

Enunciado

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

Encontre os reais a, b e c tais que, para todo o $x\ne 1$, \[f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Operações com funções

Sejam as funções $f$ e $g$

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 57

Enunciado

Sejam \[\begin{matrix}
f:x\to \frac{2x+2}{{{x}^{2}}-3x+2} & e & g:x\to \frac{4x-4}{x-2}  \\
\end{matrix}\]

  1. Mostre que $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ são funções racionais e determine o seu domínio.
  2. Determine os valores de x tais que $f(x)\le \frac{1}{2}$.

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Aplicando / 11.º Ano / Operações com funções

Mostre que $f+g$ é uma função racional

Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 56

Enunciado

Sejam: \[\begin{matrix}
f:x\to \frac{3x-4}{{{(x-1)}^{2}}} & e & g:x\to \frac{4}{{{x}^{3}}-1}  \\
\end{matrix}\]

Mostre que $f+g$ é uma função racional e determine o seu domínio.

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