Mostre que $f+g$ é uma função racional

Sejam: \[\begin{matrix}
f:x\to \frac{3x-4}{{{(x-1)}^{2}}} & e & g:x\to \frac{4}{{{x}^{3}}-1}  \\
\end{matrix}\]

­

${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{(x-1)}^{2}}\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

${{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-1\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ora,

\[\begin{array}{*{35}{l}}
(f+g)(x) & = & f(x)+g(x)  \\
{} & = & \frac{3x-4}{{{(x-1)}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{3}}-1}  \\
{} & = & \frac{3x-4}{(x-1)(x-1)}+\frac{4}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}  \\
{} & = & \frac{(3x-4)({{x}^{2}}+x+1)}{(x-1)(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}+\frac{4(x-1)}{(x-1)(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}  \\
{} & = & \frac{3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x-4{{x}^{2}}-4x-4+4x-4}{({{x}^{2}}-2x+1)({{x}^{2}}+x+1)}  \\
{} & = & \frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-8}{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+x+1}  \\
{} & = & \frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-8}{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-x+1}  \\
\end{array}\]

Cálculo auxiliar:

$\begin{matrix}
{} & 1 & 0 & 0 & -1  \\
1 & {} & 1 & 1 & 1  \\
{} & 1 & 1 & 1 & 0  \\
\end{matrix}$

(Regra de Ruffini para a factorização de ${{x}^{3}}-1$)

Portanto, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f+g: & \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R}  \\
{} & x\to \frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-8}{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-x+1}  \\
\end{array}\]

A função $f+g$ é racional pois é definida por uma expressão que é um quociente de dois polinómios.