f é outra função racional

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\]

Encontre os reais a e b tais que, para todo o $x\ne 1\wedge x\ne -1$, \[f(x)=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}\]

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Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x) & = & \frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}  \\
{} & = & \frac{a(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{b(1-x)}{(1-x)(1+x)}  \\
{} & = & \frac{(a-b)x+(a+b)}{1-{{x}^{2}}}  \\
\end{array}\]

Dado que \[f(x)=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\] vem:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a-b=0  \\
a+b=1  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a=1  \\
a+b=1  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{1}{2}  \\
b=\frac{1}{2}  \\
\end{array} \right.  \\
\end{array}\]