Determine os números reais a, b e c

1. Determine os números reais a, b e c tais que: \[\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2}\]

2. Conjecture se o gráfico da função racional definida por \[f(x)=\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}\] tem uma assimptota oblíqua e, no caso afirmativo, indique a sua equação.

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1.  Efetuando a divisão do polinómio $3{{x}^{2}}-5x-7$ por $x-2$ pela Regra de Ruffini, temos:
   \[\begin{array}{*{20}{c}}
   {}&3&{ – 5}&{ – 7} \\
   2&{}&6&2 \\
   {}&3&1&{ – 5}
   \end{array}\]
   Assim, temos:
   \[\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}=3x+1+\frac{-5}{x-2}\]
   Logo, $a=3\wedge b=1\wedge c=-5$.
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2. Ora,
   \[f(x)=3x+1+\frac{-5}{x-2}\Leftrightarrow \left[ f(x)-(3x+1) \right]=\frac{-5}{x-2}\]
   Quando $x\to -\infty $, $\frac{-5}{x-2}\to {{0}^{+}}$.

   Quando $x\to +\infty $, $\frac{-5}{x-2}\to {{0}^{-}}$.

   Consequentemente, quando $x\to -\infty $, $\left[ f(x)-(3x+1) \right]\to {{0}^{+}}$; quando $x\to +\infty $, $\left[ f(x)-(3x+1) \right]\to {{0}^{-}}$.

   Logo, a recta de equação $y=3x+1$ é uma assimptota oblíqua do gráfico da função f.
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