f é uma função racional

f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

Encontre os reais a, b e c tais que, para todo o $x\ne 1$, \[f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}\]

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Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x) & = & a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
{} & = & \frac{2a{{(x-1)}^{2}}}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{2b(x-1)}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
{} & = & \frac{2a{{x}^{2}}-4ax+2a+2bx-2b+c}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
{} & = & \frac{2a{{x}^{2}}+(-4a+2b)x+(2a-2b+c)}{2{{(x-1)}^{2}}}  \\
\end{array}\]

Dado que \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\] vem:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a=-2  \\
-4a+2b=6  \\
2a-2b+c=-3  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1  \\
2b=2  \\
-2b+c=-1  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1  \\
b=1  \\
c=1  \\
\end{array} \right.  \\
\end{array}\]