f é uma função racional
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 58
f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\]
Encontre os reais a, b e c tais que, para todo o $x\ne 1$, \[f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}\]
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x) & = & a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
{} & = & \frac{2a{{(x-1)}^{2}}}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{2b(x-1)}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
{} & = & \frac{2a{{x}^{2}}-4ax+2a+2bx-2b+c}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
{} & = & \frac{2a{{x}^{2}}+(-4a+2b)x+(2a-2b+c)}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
\end{array}\]
Dado que \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\] vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a=-2 \\
-4a+2b=6 \\
2a-2b+c=-3 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1 \\
2b=2 \\
-2b+c=-1 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1 \\
b=1 \\
c=1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
