Category: 11.º Ano

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Mostre que: $(\cos \alpha -sen\,\alpha )(\cos \alpha +sen\,\alpha )-1=-2\,se{{n}^{2}}\,\alpha $.

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Calcule o valor exato da expressão: $sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4})$.

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Simplifique a expressão:

$-2\,sen\,(\alpha +\frac{\pi }{2})+\cos (\frac{5\pi }{2}-\alpha )-sen\,(-\alpha +\pi )$

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Sabe-se que $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ e que $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

Determine o valor exato de:

1. $sen\,\alpha $
2. $tg\,(\pi -\alpha )$

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• R1

Resolva as equações trigonométricas que se seguem.

1. $sen\,\theta =-\cos \frac{\pi }{3}$
2. $sen\,\theta =\cos \frac{\pi }{5}$
3. $\cos \,\theta =\cos (\frac{3\pi }{2}-\theta )$
4. $tg\,\theta \times \cos \theta =0$
5. $(sen\,\theta )\times (2\cos \theta -1)=0$
6. $sen\,(\theta -\frac{\pi }{6})=1$
7. $se{{n}^{2}}\,\theta +sen\,\theta =0$
8. $\cos \,\theta -sen\,\theta \times \cos \theta =0$
9. $\cos \,3\theta =\cos \theta $
10. $\cos \,(2\theta +\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
11. ${{\cos }^{2}}\theta =1$
12. $-1+\sqrt{2}\,sen\,\theta =2$

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• R1

Resolva as equações trigonométricas seguintes:

1. $sen\,\theta =sen\,\frac{\pi }{4}$
2. $tg\,\theta =\sqrt{3}$
3. $sen\,\theta =-sen\,\frac{3\pi }{4}$
4. $sen\,\theta =-1$
5. $sen\,\theta =\cos \theta $
6. $\cos \frac{\theta }{3}=sen\,\theta $
7. $t{{g}^{2}}\,\theta =1$
8. $1+2\,sen\,\theta =0$
9. $2\,sen\,\theta +\sqrt{3}=0$
10. $5-5\cos \,(2\theta )=0$

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Em cada um dos casos, encontre o valor de $\theta $, que verifica:

1. $\begin{matrix}
   \cos \theta =-0,5 & \wedge  & \theta \in \left[ \pi ,2\pi  \right]  \\
   \end{matrix}$
2. $\begin{matrix}
   sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2} & \wedge  & \theta \in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right]  \\
   \end{matrix}$
3. $\begin{matrix}
   sen\,\theta =\frac{\sqrt{2}}{2} & \wedge  & \theta \in \left[ \frac{\pi }{2},\pi  \right]  \\
   \end{matrix}$
4. $\begin{matrix}
   sen\,\theta =-0,9 & \wedge  & \theta \in \left[ \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2} \right]  \\
   \end{matrix}$
5. $\begin{matrix}
   tg\,\theta =-28,6362 & \wedge 

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Recorrendo ao círculo trigonométrico, resolva, se possível, no intervalo $\left[ 0,\pi  \right]$, as seguintes equações:

1. $\cos \theta =-\frac{1}{2}$
2. $sen\,\theta =\frac{1}{2}$
3. $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. $tg\,\theta =1$
5. $tg\,\theta =-\sqrt{3}$
6. $sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
7. $sen\,\theta =-0,6$
8. $\cos \theta =-0,6$
9. $tg\,\theta =-98$
10. $\begin{matrix}
    \cos \theta =-\frac{1}{2} & \wedge  & sen\,\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}  \\
    \end{matrix}$
11. $\begin{matrix}
    \cos \theta =-\frac{1}{2} & \wedge  & sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\
    \end{matrix}$
12. $\cos \theta =2,3$

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Com a ajuda da calculadora e de um círculo trigonométrico, determine $\theta $ (em radianos), tal que:

1. $\begin{matrix}
   sen\,\theta =\frac{2}{3} & \wedge  & \frac{\pi }{2}<\theta <\pi   \\
   \end{matrix}$
2. $\begin{matrix}
   sen\,\theta =-\frac{1}{3} & \wedge  & \pi <\theta <\frac{3\pi }{2}  \\
   \end{matrix}$
3. $\begin{matrix}
   tg\,\theta =\frac{7}{3} & \wedge  & \pi <\theta <\frac{3\pi }{2}  \\
   \end{matrix}$
4. $\begin{matrix}
   \cos \theta =\frac{2}{5} & \wedge  & \frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi   \\
   \end{matrix}$
5. $\begin{matrix}
   tg\,\theta =-9 & \wedge  & \frac{\pi }{2}<\theta <\pi   \\
   \end{matrix}$

(Apresente o … Ler mais

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Na figura está representado um círculo trigonométrico.

O segmento [OA] é perpendicular a [OB]. O ângulo COB tem amplitude $\alpha $ radianos.

1. Calcule as coordenadas do ponto A.
2. Determine o valor exato da expressão: $tg\,(\pi -\alpha )+\cos (\pi +\alpha )$.

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Tendo em atenção a variação do seno e do cosseno, compare, se possível, cos a e cos b e sen a e sen b nos seguintes casos:

1. $0\le a\le b\le \frac{\pi }{2}$
2. $\pi \le a\le b\le 2\pi $
3. $\pi \le a\le b\le \frac{3\pi }{2}$

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Dos ângulos compreendidos entre $0$ e $2\pi $, indique:

1. os que têm seno simétrico do seno de $\frac{\pi }{8}$
2. os que têm o co-seno igual ao seno de $\frac{\pi }{8}$

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Indique uma expressão geral dos ângulos que têm:

1. seno igual a $-0,5$
2. co-seno igual a $0$

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Observe a figura onde está representado um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 6 unidades. O ponto C pertence ao eixo das ordenadas.

1. Indique as coordenadas dos vértices do triângulo.
2. Indique as coordenadas do ortocentro do triângulo (ponto de intersecção das alturas do triângulo).
3. Se o triângulo rodar 90º em torno de O, quais serão agora as coordenadas dos seus vértices?

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