Um cone reto

Comecemos por determinar uma expressão da área da superfície lateral do cone em função da raio da base.
Ora, a superfície lateral do cone é um setor circular de raio [BV], cuja área é diretamente proporcional ao comprimento do arco BAB’:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{A_L}}}{{2\pi \times r}} = \frac{{\pi \times {g^2}}}{{2\pi \times g}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{A_L}}}{{2\pi \times r}} = \frac{{\pi \times {{\left( {3r} \right)}^2}}}{{2\pi \times 3r}}}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{{A_L}}}{{2\pi \times r}} = \frac{{3r}}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{A_L} = 3\pi \times {r^2}}\end{array}\]

A área da superfície total do cone pode ser expressa, em função de r, por:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T}}& = &{{A_B} + {A_L}}\\{}& = &{\pi \times {r^2} + 3\pi \times {r^2}}\\{}& = &{4\pi \times {r^2}}\end{array}\]

1. O comprimento do raio da base do cone é, aproximadamente, 10 cm:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T} = 1256}& \Leftrightarrow &{4\pi \times {r^2} = 1256}\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {\frac{{314}}{\pi }} }\\{}&{}&{r \approx 10}\end{array}\]
2. O comprimento da geratriz do cone é, aproximadamente, 30 cm:
   \[g = 3\sqrt {\frac{{314}}{\pi }} \approx 30\]
3. A altura do cone é, aproximadamente, 28 cm:
   Por aplicação do Teorema de Pitágoras, temos:
   \[h = \sqrt {{{\left( {3r} \right)}^2} – {r^2}} = \sqrt {8{r^2}} = 2\sqrt 2 \,r\]
   Portanto, vem:
   \[h = 2\sqrt 2 \times \sqrt {\frac{{314}}{\pi }} \approx 28\]