Um círculo trigonométrico
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 97 Ex. 61
Enunciado
Na figura está representado um círculo trigonométrico.
O segmento [OA] é perpendicular a [OB]. O ângulo COB tem amplitude $\alpha $ radianos.
- Calcule as coordenadas do ponto A.
- Determine o valor exato da expressão: $tg\,(\pi -\alpha )+\cos (\pi +\alpha )$.
Resolução
Como A é um ponto da circunferência que define o círculo trigonométrico, então as suas coordenadas são $A\,\left( \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha ),sen\,(\frac{\pi }{2}-\alpha ) \right)$, com $\begin{matrix}
sen\,(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{1}{2} & \wedge & (\frac{\pi }{2}-\alpha )\in 1.{}^\text{o}Q \\
\end{matrix}$.
Deste modo, \[\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}\] e, portanto, \[A\,(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\]
- Como \[sen\,(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{1}{2}\] e \[\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sen\,\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\] temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
tg\,(\pi -\alpha )+\cos (\pi +\alpha ) & = & tg\,(-\alpha )-\cos \alpha \\
{} & = & -tg\,\alpha -\cos \alpha \\
{} & = & -\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \\
{} & = & -\sqrt{3}-\frac{1}{2} \\
\end{array}\]
