Calcule o valor exato da expressão
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 99 Ex. 69
Enunciado
Calcule o valor exato da expressão: $sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4})$.
Resolução
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4}) & = & sen\,(2\pi +\pi +\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (-6\pi +\frac{\pi }{4}) \\
{} & = & -\,sen\,(\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (\frac{\pi }{4}) \\
{} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-0+\frac{\sqrt{2}}{2} \\
{} & = & -1 \\
\end{array}\]
$$\begin{array}{*{20}{c}}
B&.&{}&{}&{}&{} \\
{}&|& \ddots &{}&{\sqrt 2 }&{} \\
1&|&{}& \ddots &{}&{} \\
{}&|&{}&{}& \ddots &{} \\
{}&.& – & – & – &. \\
O&{}&{}&1&{}&A
\end{array}$$
Considere um triângulo isósceles e retângulo [AOB], retângulo em O.
Para simplificar os cálculos, considere-se $\overline {OA} = \overline {OB} = 1$.
De acordo com o Teorema de Pitágoras, vem $\overline {AB} = \sqrt 2 $.
Assim, temos:$$\operatorname{sen} 45^\circ = \frac{{\overline {OA} }}{{\overline {AB} }} = \cos 45^\circ = \frac{{\overline {OB} }}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$
Logo, $\operatorname{sen} \frac{\pi }{4} = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
-sen pi/4 -> -raiz de 2 sobre 2?? não percebo isso